Решение.

Пример.

а).Разложить функцию на промежутке 1) Фурье, 2) Фурье.

б). Сравнить в каждом из этих случаев графики суммы ряда с графиками частичных сумм.

в). Получить тождества для числовых рядов, подставляя различные значения в обе части найденных разложений.

г). Получить тождества для числовых рядов с помощью равенства Парсеваля - Стеклова.

1). а).Продолжим функцию сначала нечетно, затем периодически. Полученная нечётная периодическая кусочно-гладкая на периоде функция совпадает на промежутке и имеет скачки в точках . Ряд Фурье этой функции всюду сходится и его сумма совпадает на интервале . Так как и , то ; вообще, . В этом случае все коэффициенты Фурье равны нулю, а числа будут равны .
Интегрирования по частям даёт . Окончательно получаем .

б).Сравнение графиков функций , и .

в).При значении будет , и мы снова получаем (см.§6).

г).Равенство Парсеваля − Стеклова даёт в этом примере . Поэтому (Эйлер). Отметим, что .

2) а).Продолжим функцию сначала чётно, затем периодически. Полученная чётная периодическая кусочно-гладкая на периоде функция совпадает на отрезке и не имеет точек разрыва. По этой причине ряд Фурье сходится всюду, а его сумма на отрезке равна . Все коэффициенты равны нулю, , , т.е. . Поэтому .

б).Сравнение графиков функций и .

в). Пусть , тогда будет или . Откуда снова следует тождество Эйлера. Действительно, если обозначить , то увидим, что или . Следовательно, .

г).Равенство Парсеваля − Стеклова в данном случае записывается в виде

или . Если обозначить , то получим . Поэтому (Эйлер).