Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

1˚.Если все члены ряда неотрицательны, то последовательность его частичных сумм неубывающая, следовательно, существует предел этой последовательности (конечный или бесконечный). Мы приходим к следующему выводу.

Предложение.Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.

2˚. Теорема (Интегральный признак Коши).Пусть неотрицательная функция убывает на промежутке . Тогда ряд и несобственный интеграл оба сходятся, либо оба расходятся. В случае сходимости их остатки связаны неравенствами

.

Доказательство.Из условий теоремы следуют неравенства:

и ,

Пусть сначала известно, что сходится ряд и . Тогда

, а так как возрастает, то интеграл сходится.

Наоборот, если сходится интеграл, то , следовательно, ряд сходится.

Наконец, оценку остатка получим из соотношения с помощью предельного перехода .

Следствие.Ряды Дирихле сходятся и расходятся .

3˚. Теорема. (Признак сравнения).Рассмотрим рядыс положительными членамии .

а) если ряд мажорируется рядом (т.е. ) и ряд сходится, то ряд также сходится, при этом .

б) если , то ряды оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Утверждение пункта а) сразу следует из неравенства .

б) Так как , то оба эти отношения ограничены, т.е. существует положительное число такое, что и , . Остаётся воспользоваться утверждением пункта а).