Основные определения. Свойства сходящихся рядов.

Глава 8. Ряды.

1˚.Теория бесконечных числовых рядов имеет много общего с теорией несобственных интегралов с бесконечным верхним пределом.

Определение 1.Рассмотрим бесконечный ряд . Его частичнойсуммой называется сумма первых членов данного ряда, то есть . Ряд называется остаточным рядом.

Определение 2.Если существует конечный предел частичной суммы , то этот предел называется суммой ряда, а сам ряд считается сходящимся. В противном случае говорят, что ряд расходится. Сумма остаточного ряда называется остатком ряда.

Предложение 1.Если ряд сходится, то сходится любой из его остаточных рядов. При этом .

Доказательство.Так как , то нужно лишь перейти к пределу при условии, что .

Предложение 2. (Критерий Коши для рядов).Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы его усечённый остаток стремился к нулю, когда (условие Коши).

Доказательство.Так как, , то остаётся применить критерий существования конечного предела к последовательности .

Предложение 3.(Необходимое условие сходимости).Если ряд сходится, то . Обратное утверждение не верно.

Доказательство.Необходимость условия является следствием критерия Коши. Для того, чтобы убедиться в его недостаточности, рассмотрим гармонический ряд: .
Ясно, что . В то же время . Так как нарушено условие Коши, то ряд расходится.