Определение и основные свойства двойного интеграла, Тройной интеграл.

Глава 7. Кратные интегралы.

1˚. Двойной интеграл.Пусть − квадрируемое, ограниченное множество и − функция, определенная на этом множестве. Рассмотрим разбиение на неперекрывающиеся квадрируемые подмножества . Обозначим − площадь множества и − диаметр этого множества. Назовем мелкостью разбиения величину . Образуем интегральную сумму Римана .

Определение.Если существует предел , то функция называется интегрируемой по Риману на множестве , в записи − , а сам предел называется двойным интегралом и обозначается или .

Легко доказать, что интегрируемая функция ограничена на множестве . Поэтому имеют смысл суммы Дарбу , а также сумма где, , и − колебание функции на множестве . По той же схеме, что и для определенного интеграла, доказываются следующие теоремы:

Критерий интегрируемости.Функция интегрируема на множестве тогда и только тогда, когда сумма стремится к нулю .

Теорема (об интегрируемости непрерывной функции).Пусть , где − ограниченное множество с замкнутой, кусочно-гладкой границей . В таком случае .

Так же, как и раньше, из определения интеграла и критерия интегрируемости выводятся такие свойства двойного интеграла, как линейность, аддитивность, неотрицательность (монотонность). Сформулируем еще теорему о среднем.

Теорема о среднем интегральном.Пусть , где − связное множество с кусочно-гладкой границей и конечной с площадью . В таком случае существует точка , такая что . (Напомним, что − связное множество, если любые 2 его точки можно соединить ломаной линией.)

2˚1. Мера Жордана в пространстве .

Рассмотрим разбиение пространства на кубы ранга с помощью плоскостей , , , . Обозначим количество кубов содержащихся во множестве и − количество кубов, пересекающихся с множеством . Пусть ещё .

Определение. ВнутреннеймеройЖордана множества называется величина . Внешней мерой Жордана множества называется величина . Множество называется измеримым по Жордану или кубируемым, если . Их общее значение называется просто мерой этого множества или его объёмом.

2˚1. Тройной интеграл.Пусть − кубируемое, ограниченное множество и − функция, определенная на этом множестве. Рассмотрим разбиение на неперекрывающиеся кубируемые подмножества . Обозначим − объём множества и диаметр этого множества. Назовем мелкостью разбиения величину . Образуем интегральную сумму Римана .

Определение.Если существует предел , то функция называется интегрируемой по Риману на множестве , в записи − , а сам предел называется тройным интегралом и обозначается или .

И в этом случае точно так же, как в двумерном случае, формулируются и доказываются критерий интегрируемости, теорема о существования тройного интеграла от непрерывной функции и основные свойства интеграла. Отметим только, что средним интегральным в трёхмерном случае называют величину

.

Замечание.По той же схеме определяется мера Жордана и интеграл в пространстве при любом натуральном .