Свойства меры Жордана.

Площадь фигуры (плоская мера Жордана).

Фиксируем на плоскости прямоугольную декартову систему координат . Разобьём плоскость на квадраты прямыми линиями . Назовём их квадратами ранга 0. Площадь каждого квадрата равна .

Разбивая стороны квадратов ранга 0 на 10 равных частей, получим разбиение плоскости на квадраты ранга 1, площади и т.д. Площадь каждого квадрата ранга равна .

Пусть − ограниченное множество на плоскости. Обозначим , где − число квадратов ранга , принадлежащих множеству . Обозначим , где − число квадратов ранга , пересекающихся с множеством .

Ясно, что .

Определение 1.Величина называется внутренней меройЖордана множества . Величина называется внешней меройЖордана множества .

Определение 2.Множество измеримо по Жордану, если . В этом случае число называется просто меройЖордана или площадью множества .

1. Неотрицательность .
2. Аддитивность .
3. Монотонность (а также и ) по включению.
4. Инвариантность относительно сдвигов, поворотов и симметрий.

Следствие.Мера не зависит от выбора ортонормированного базиса .

Упражнение.Прямоугольник − измеримое множество, при этом .

Теорема.Пусть и пусть . В таком случае криволинейная трапеция − измеримое множество и площадь этого множества равна .

Доказательство.В доказываемой формуле ничего не изменится, если добавить к обеим функциям произвольную константу. Поэтому при доказательстве можно считать, что . Далее, ввиду аддитивности меры Жордана достаточно найти площадь фигуры .

Рассмотрим разбиение отрезка и связанные с ним ступенчатые фигуры , отличающиеся тем, что на частичном промежутке в первом случае заменяется , во втором − . Ввиду свойства монотонности имеем

.

С другой стороны, . Критерий интегрируемости показывает, что и что . Ч. и т.д.

Определение.Область на плоскости называется простой в заданном направлении, если её пересечение с каждой прямой данного направления представляет собой отрезок, точку либо пустое множество.

Теорема 2.Пусть − область плоскости , простая по обоим координатным направлениям, граница которой − гладкая замкнутая кривая, заданная параметрическими уравнениями:

.

Если при увеличении точка обходит границу области против движения часовой стрелки, то площадь области равна

.

Доказательство.Продолжим периодически с периодом . Можно считать, что − крайние значения функции . Теперь первая из формул следует из теоремы 1 с помощью замены переменной интегрирования. Нужно только воспользоваться свойством аддитивности меры. Вторая формула выводится точно так же, а третья − следует из первых двух.

Теорема 3.Если фигура ограниченна лучами , и кривой с уравнением в полярных координатах , где , то её площадь равна

.

Доказательство.Рассмотрим разбиение отрезка и заменим множество фигурами , состоящими не из прямоугольников, как в теореме 1, а из круговых секторов и . Так как площадь сектора радиуса с центральным углом равна , то, рассуждая, как при доказательстве теоремы 1, получим .