Определение концентрации молекул разряженного газа в произвольном объеме

Анализ программы MODMD05

Пусть на некоторый произвольный объем W воздействует свободномолекулярный поток, причем количество молекул, влетающих в объем в единицу времени, равен Kv (рис. 1.2).

Рис. 1.2 Произвольный объем со свободномолекулярным потоком

Необходимо определить количество Kw и среднюю концентрацию молекул Nw в объеме W.

При взаимодействии свободномолекулярного потока с объемом имеют место два следующих процесса:

- увеличение числа молекул в объеме со скоростью Kv;

- уменьшение числа молекул в объеме со скоростью x·Kw, где: x - коэффициент, показывающий какая часть молекул вылетает из объема в единицу времени.

Тогда можно записать:

, (1)

где t – время.

Решая это дифференциальное уравнение при начальных условиях: t=0, Kw=0, получим :

(2)

В установившемся режиме, при t ® ¥:

(3)

Выясним физический смысл коэффициента x. Для этого рассмотрим решение уравнения (1) при отсутствии внешнего потока (Kv=0)

и начальных условиях t=0, Kw = Kw0. Тогда:

Kw = Kw0 × exp(-x× t) (4)

При t ® ¥: Kw ® 0, то есть все молекулы вылетают из объема W. Среднее время нахождения молекулы в объеме W может быть определено следующим образом:

(5)

Тогда выражения для определения Kw и Nw могут быть записаны:

Kw = Kv × Tw

и

(6)

Внутри объема W распределение концентрации молекул (Nj) может быть определено следующим образом:

, (7)

где Wj - часть объема W, задаваемая параметром j (либо совокупностью параметров), которые определяют размеры объема Wj и его положение в объеме W (W= åWj);

Tj - среднее время нахождения молекул в объеме Wj (Tw= åTj).

Таким образом, средняя концентрация молекул (Nj) в объеме, задаваемом параметром j либо совокупностью параметров и входящем в объем W, определяется величиной объема (Wj), средним временем нахождения молекулы в объеме (Tj) и количеством молекул, влетающих в объем (W) в единицу времени.

Задача определения распределения молекул разреженного газа в объеме W может быть решена путем математического моделирования с использованием вероятностного численного метода (метода Монте-Карло).

Для этого необходимо:

- задать параметры, определяющие представление объема W как совокупности объемов Wj;

- смоделировать входной поток молекул разреженного газа, который в частном случае может быть представлен в виде направленного потока молекул разреженного газа, имеющих кроме того тепловую составляющую скорости, и определить величину Kv для заданных параметров потока и объема W;

- смоделировать движение молекул внутри объема W, определить время нахождения каждой молекулы в составных частях объема Wj и рассчитать Tj - среднее время нахождения молекул в объеме Wj.

- в соответствии с выражением (7) рассчитать распределение концентрации молекул (Nj) внутри объема W.