Порядок вычисления некоторой величины с заданной точностью.

1. Производится первое вычисление неизвестной величины А. Пусть полученное число a_i – его приближенное значение, т.е. а.

2. Производится второе вычисление неизвестной величины А. И пусть полученное число a_i+1 – его точное значение, т.е. А.

3. Используется критерий, например, (3)

| a_i+1 – a_i |<=D_{а пред.}

4. Если условие невыполняется, то в качестве приближенного значения a_i принимается a_i+1,
(т.е. a_i := a_i+1) и производится переход к п.2; процедура повторяется до тех пор, пока не выполнится условие пункта 3.

5. В случае выполнения условия пункта 3 в качестве точного значения неизвестной величины А принимается число a_i+1 (в действительности же a_i+1 имеет погрешность вычисления <=D_{а пред.}).

Таким образом, в процессе достижения выполнения условия пункта 3 формируется ряд значений a₁, a₂, … a_n.

Процесс перехода от a₁ к a_n называется итерационным процессом, а переход от a_i к a_i+1 называется итерацией.

Число итераций зависит от заданной точности (верхней границы погрешности):

Пример. Проиллюстрировать итерационный процесс можно при вычислении приближенных значений функции с заданной точностью. Пусть требуется вычислить значение числа е с заданной точностью 0, 01.

Для вычисления приближенных значений функции с заданной точностью удобно пользоваться разложением функции в ряд Тейлора (Маклорена).

Формула Тейлора позволяет приближенно представить (аппроксимировать) произвольную функцию f(x) в виде ряда:

Частный простейший случай ряда Тейлора при а=0 принято называть рядом Маклорена:

Не будем пользоваться понятием остаточного члена ряда, хотя именно он характеризует точность при вычислении. Будем использовать понятие абсолютной или относительной погрешности.

Итак,

f(x) = e^x f' (x) = f'' (x) = … = f⁽ⁿ⁾ (x) = e^x;

f(0) =f' (0) = f'' (0) = … = f⁽ⁿ⁾ (0) = e⁰ = 1.

е = е^х, при х=1.

Тогда