Первый замечательный предел

Лекция № 8, ВАС-11, 1 сем, 2012

Тема. Первый и второй замечательные пределы. Число e. Натуральный логарифм. Эквивалентные бесконечно малые функции.

В математике и ее приложения большую роль играет предел, который имеет вид:

. (1.1)

Этот предел носит название: первый замечательный предел. (Заметим, аргумент синуса измеряется в радианах, но не в градусах!!!). Докажем этот предел.

Возьмем круг радиуса , обозначим радианную меру угла MOB через х (рис. 1.1). Так как радиус круга равен единице, то длина дугиравна , .

Рис. 1.1

Проведем доказательство для случая , т.е. предпольем, что угол находится в первом квадранте. На рис. 1.1 , Очевидно, имеем:

(1.2)

Величины площадей равны:

, ,
.

Подставим величины площадей в двойное неравенство (1.2):

Разделим последнее неравенства на , получим:

,

или

,

но Отсюда следует:

Мы доказали первый замечательный пределв предположении того, что . Не представляет труда доказать его и для случая .

С помощью калькулятора можно убедиться в справедливости равенства Для этого вычислим отношение для различных значений , уменьшая величину .

Из первого замечательного вытекает ряд следствий:

1⁰. 2⁰_. 3⁰. (1.3)

Докажем первое следствие.Второе и третье следствия примем без доказательства.

Проиллюстрируем применение первого замечательного предела для раскрытия неопределенности.

Задача 1.1.Найти предел функций:

Решение. Имеем неопределенность вида:

.

Для раскрытия неопределенности преобразуем функцию, умножим на 2 числитель и знаменатель дроби:

.

Введем новую переменную по формуле . Очевидно, при . Отсюда получаем:

.