Метод покрытия сеткой

Методы определения фрактальных характеристик объектов

Данный метод позволяет определить размерность физических объектов, имеющих геометрические размеры. Эти объекты могут быть как замкнутыми (береговые линии островов, поверхность планет), так и незамкнутыми (часть береговой линии, участок поверхности).

Центральное место в определении размерности Хаусдорфа-Безиковича и, следовательно, фрактальной размерности D занимает понятие расстояния меж­ду точками в пространстве. Как измерить «величину» множества точек в про­странстве? Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей или объем тела состоит в том, чтобы разделить пространство на небольшие отрезки, квадраты или кубы с ребром 3, как показано на рисунке 1.12. Вместо кубов можно было бы взять небольшие сферы диаметром . Если поместить центр малой сферы в какой-нибудь точке множества, то все точки, находящиеся от центра на расстоянии , окажутся покрытыми этой сферой. Подсчиты­вая число сфер, необходимых для покрытия интересующего нас множества то­чек, мы получаем меру величины множества.

Кривую можно измерить, определяя число прямолинейных отрезков длины , необходимых для того, чтобы покрыть ее (рис. 1.12, а). Разумеется, для обычной кривой . Длина кривой определяется предельным пере­ходом:

.

В пределе при , мера L становится асимптотически равной длине кривой и не зависит от .

Поверхность можно измерить, определяя - число квадратов со сторо­ной , необходимых для того, чтобы покрыть (рис. 1.12, б). Нормальной мерой такого множества служит площадь S. При этом

.

Как можно увидеть, для обычной поверхности число квадратов, необходи­мых для ее покрытия, определяется в пределе при выражением , где - площадь поверхности.

Объем можно измерить, определяя число кубов с ребром , необходи­мых для того, чтобы заполнить этот объем (рис. 1.12, в). Мерой такого множе­ства служит объем V. При этом:

.

В пределе при мера V становится асимптотически равной объему те­ла и не зависит от .

Определив число для каждого из типов объектов (кривая, поверхность или объемное тело), можно найти его фрактальную размерность. Для этого за­висимость строится в двойном логарифмическом масштабе (рис. 1.13) и описывается выражением

.

Угловой коэффициент прямой будет являться фрактальной размерностью D. Так как эта размерность была найдена путем подсчета числа отрезков, кле­ток или кубов, то ее принято называть клеточной размерностью.