Треугольник следов и его свойства. Теорема Польке.

Треугольник следов и его свойства.

В общем случае плоскость картины пересекает координатные плоскости по линиям, которые своими отрезками образуют так называемый треугольник следов (рисунок 11.3, 11.3а)

Рисунок 11.3 Рисунок 11.3а

Изображение имеет главную и вторичную проекции. Главной называется изображение А´ самой точки А; вторичной – изображение первичной проекции точки на какой – либо плоскости координат П₁ П₂ П₃. Вторичных проекций может быть три, но преимущественно используется вторичная проекции на горизонтальной плоскости. При необходимости по главной и вторичной проекции могут быть построены и другие вторичные проекции на П₂ и П₃.

Таким образом, в аксонометрии имеется два поля проекций: поле главной и поле вторичной проекций. Обычно в начале строится вторичная проекция, а затем главная.

В этом плане аксонометрия не имеет принципиального отличия от ортогональных проекций, о чем свидетельствует решение задачи определения точки пересечения прямой АВ с плоскостью, заданной отсеком, аналогично решению в ортогональных проекциях (рисунок 11.4)

Рисунок 11.4

Аксонометрическое изображение (главная и вторичная проекции оригинала) с осями и масштабами являются обратимой проекцией и позволяет восстановить объект в пространстве.

Теорема Польке.

При построении параллельной проекции можно произвольно выбрать плоскость проекций П´ и направление проецирования.

Очевидно, любое изменение взаимного положения осей координат и плоскости проекций и всякое изменение направления вызовет как изменение положения аксонометрических осей, так и коэффициентов искажения по ним.

Геометр прошлого века К. Польке в 1853г., изучая вопрос о том, в какой зависимости находятся направление аксонометрических осей и коэффициенты искажения по ним от направления проецирования и положения плоскости проекций, пришел к следующему выводу.

Три произвольно выбранные отрезка О´x´, O´y´, O´z´ (рисунок 11.1) на плоскости П´, выходящие из одной точки, представляют параллельную проекцию трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков Ox, Oy, Oz, выходящих из некоторой точки пространства. Доказательство теоремы Польке приведено в курсе Е.А. Глазунова и Н.Ф. Четверухина «Аксонометрия» (Гостехиздат, 1953).

Эта теорема К. Польке имеет существенное значение как для аксонометрии, так и для многих ее приложений. На основании теоремы Польке системы аксонометрических осей, а так же отношение коэффициентов искажения по ним могут быть заданны совершенно произвольно.

Коэффициенты искажения пропорциональны соответственно отрезкам, изображающим аксонометрические оси. Действительно, отрезки О´x´, О´y´, О´z´, которые являются числителями дробей, определяющих коэффициенты искажений u, v, w, могут быть согласно теореме Польке выбраны произвольно. Но все эти три произвольно выбранных отрезка служат параллельной проекцией трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков пространства. Пусть длина каждого из них равна m. Составив отношение u : v : w = : : и, заменяем Ох, Оу, Оz через m, получим: u : v : w = O´x : O´y´ : O´z´, что и доказывает пропорциональность коэффициентов искажения соответствующим отрезкам.