Пересечение кривой поверхности прямой.

Пересечение прямой с поверхностьюДля того чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью любого тела (цилиндр, конус, шар и т. д.), поступают точно также, как и при нахождении точки пересечения прямой с плоскостью, а именно:

1. заданную прямую заключают во вспомогательную плоскость;
2. находят линию (кривую) пересечения заданной поверхности со вспомогательной плоскостью;
3. на пересечении заданной прямой с линией пересечения получают искомые точки .

В частном случае прямая линия может быть касательной к поверхности.

Указание. При заключении прямой во вспомогательную плоскость последнюю следует выбирать так, чтобы ее линия пересечения с поверхностью проектировалась на плоскости проекций в виде простейших линий – прямой или окружности.

Пример 1. Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью цилиндра (рис. 8.12; 8.13). проведем через прямую вспомогательную плоскость, параллельную образующим цилиндра. Для этого через точки А и В проведены прямые , параллельные образующим цилиндра. Найдены их горизонтальные следы M и N. Точки Р и Q₁ пересечения горизонтального следа вспомогательной плоскости с основанием цилиндра определяют положения образующих PK¹ и QK² по которым вспомогательная плоскость пересекается с цилиндром. Точки K¹ и K² - искомые точки. На рис. 8.13 эта задача решена на комплексном чертеже. Если бы через прямую АВ провели вспомогательную проектирующую плоскость, то в сечении получился бы эллипс, который дал бы возможность найти точки K1 и K2, но решение задачи было бы сложнее.

Рисунок 8.12

Рисунок 8.13

Пример 2. Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью конуса (рис. 8.14). Проведем через прямую АВ вспомогательную плоскость ABS, проходящую через вершину конуса. Соединим прямыми концы отрезка АВ (или его промежуточные точки) с проекциями вершины конуса и найдем горизонтальные следы прямых SA и SB. Точки M и N определят плоскость, пересекающуюся с конусом. Точки K1 и K2 пересечения этих образующих с прямой АВ являются искомыми точками. На рис. 8.15 эта задача решена на комплексном чертеже. Горизонтальный след вспомогательной плоскости мог не пересечься с основанием конуса или только прикоснуться к нему. В этом случае прямая АВ не пересеклась бы с поверхностью конуса или только прикоснулась бы к нему.

Рисунок 8.14

Рисунок 8.15

Пример 3. Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью шара (сферой) (рис. 8.16).

Решение. Заданную прямую АВ заключаем во вспомогательную плоскость, например в горизонтально проецирующую Р. Эта плоскость пересечется со сферой по окружности диаметра 12, которая спроецируется на П₁ в отрезок прямой 1₁2₁, совпадающий с Р₁, а на П₂ – в эллипс. Чтобы избежать построения эллипса, целесообразно плоскость П₂ заменить новой плоскостью П₄║Р. На П₄ указанная окружность спроецируется в окружность l₄, выражающую ее натуральную величину. Диаметр этой окружности d=1₄2₄=1₁2₁=12, а центр ее совпадает с новой проекцией О₄ – центра сферы на П4. Далее строим проекцию А₄В₄ отрезка АВ заданной прямой . Точка М₄=А₄В₄Çl₄ и точка N₄=A₄B₄Çl₄ являются проекциями на П₄ искомых точек М и N – входа и выхода прямой АВ. Обратным переносом находим проекции этих точек на П₁ (M₁ и N₁) и на П₂ (M₂ и N₂).

Рисунок 8.15