Теорема о проецировании прямого угла.

Определение видимости точки

Конкурирующие точки.

Как надо рассматривать точку пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых? Она представляет собой проекции двух точек, из которых одна принадлежит первой, а другая – второй из этих скрещивающихся прямых. Например, на рис точка с проекциями К₂ иК₁ принадлежит прямой АВ, а точка с проекциями L₂ и L₁ принадлежит прямой СD. Эти точки одинаково удалены от плоскости П₂, но расстояние их от плоскости П₁ различны: точка с проекциями L₂ и L₁ дальше от плоскости П₁ чем точка с проекциями К₂ иК₁ (рис 2.26.).

Рис. 2.26.

Точки с проекциями М₂, М₁ и N₂, N₁ одинаково удалены от плоскости П₁, но расстояние этих точек от плоскости П₂ различны.

Точка с проекциями L₂ и L₁ принадлежащая прямой CD, закрывает собой точку с проекциями К₂ иК₁ прямой АВ по отношению к плоскости П₂, соответствующее направление взгляда показано стрелкой у проекции L₂. По отношению к плоскости П₂ точка с проекцией N₂, N₁ прямой CD закрывает собой точку с проекциями М₂, М₁ прямой АВ; направление взгляда указано стрелкой внизу, у проекции N₁.

Точки М₂ ≡ N₂,v K₁ ≡ L₁ – называются конкурирующими и с их помощью определяется видимость.

1. Если плоскость, в которой расположен некоторый угол, перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии.

2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций и хотя бы одна его сторона параллельна этой плоскости, то прямой угол проецируется на нее в виде прямого же угла.

Рис. 2.30.

Положим, что сторона ВС прямого угла АВС (рис. 2.30.) параллельна плоскости проекций. В таком случае прямая СВ параллельна С₁В₁. Пусть вторая сторона (АС) прямого угла пересекает свою проекцию А₁С₁ в точке К. Проводим в плоскости проекций через точку К прямую параллельно С₁В₁. Прямая KL так же параллельна СВ, и угол CKL получается прямым. Согласно тереме о трех перпендикулярах угол С₁KL также прямой. Следовательно, и угол А₁С₁В₁ прямой.

Рис. 2.31.

Этой теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратных.

3. Если проекция плоскости угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций. (рис. 2.31.).

4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол тоже прямой.

5. Если стороны угла одинаково наклонены к плоскости проекций, то угол не может равняться проектируемому углу.

Глава 3

Проекции плоскости

3.1 Способы задания плоскости на эпюре

Из курса элементарной геометрии известно, что через три точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и при том только одну. Таким образом, положение плоскости в пространстве логично определить (задать) тремя точками (точки А, В, С, табл. 3.1, п1.)

Кроме этого, положение плоскости в пространстве определяют: прямая АВ и точка С, не лежащая на прямой (табл. 3.1, п.2), две пересекающиеся прямые АВ и CD (табл. 3.1, п.3), две параллельные прямые АВ и CD (табл. 3.1, п.4), плоская фигура, т.е. часть плоскости, ограниченная линиями (треугольник, квадрат, круг, ромб и т.д.).

На эпюре (табл. 3.1) плоскость может быть задана соответственно проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой, прямой и точки, не лежащей на прямой, двух пересекающихся или параллельных прямых, проекцией плоской фигуры.

Плоскости условимся обозначать прописными латинскими буквами, следующими за буквой P по алфавиту: R, S, T и т.д.

Таблица 3.1 Способы задания плоскости в пространстве и на эпюре

№	Задание плоскости в пространстве	Наглядное изображение	Эпюр	Задание плоскости на эпюре
	Тремя точками, не лежащими на одной прямой		Проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой
	Прямой и точкой, не лежащей на прямой		Проекциями прямой и точки, не лежащими на одной прямой
	Двумя пересекающимися прямыми		Проекциями двух пересекающихся прямых
	Двумя параллельными прямыми		Проекциями двух параллельных прямых
	Плоской фигурой		Проекциями плоской фигуры
	Следами		Следами