Лекция 48. Тройной интеграл и его вычисление
План
Лекция 44. Двойные интегралы
Питання
Достатня умова рівності мішаних похідних
Визначення частинної похідної -го порядкуфункції багатьох змінних. Поняття мішаної похідної
Нехай , - відкрита. Нехай скрізь на множині у існує . Ця похідна також є функцією:
.
Може статися, що має в деякій точці частинну похідну по . Тоді цю частинну похідну називають похідною другого порядка від функції по змінним , в точці і позначають:
.
По індукції можна визначити частинну похідну від функції го порядку по змінним , яку позначають:
.
Якщо серед індексів є хоча б одна пара різних, то відповідна похідна називається мішаною.
Приклад. Нехай .
Теорема (достатня умова рівності мішаних похідних). Нехай , - відкрита. Нехай скрізь на множині у існують . Тоді у всіх точках, де вони неперервні, має місце рівність:
.
- Що називається вектор-функцією одного аргумента? Навести приклади вектор-функцій.
- Як визначається похідна вектор-функції?
- Зв’язок між неперервністю і диференційованістю вектор-функції.
- Що таке мішана похідна дійсної функції багатьох змінних?
- Як визначається частинна похідна від функції го порядку по змінним ?
- Чи завжди мішані похідні другого порядку є рівними? Достатня умова рівності мішаних похідних.
- Построение интегральной суммы для двойного интеграла. Определение двойного интеграла
- Криволинейные трапеции первого и второго типа.
- Сведение двойного интеграла к повторному
- Построение интегральной суммы для двойного интеграла. Определение двойного интеграла
Пусть в области определена функция . Разобьем область кривыми на конечное количество частей , ,..., , площади которых соответственно обозначим (рис.1). В каждой подобласти выберем произвольно точку , вычислим значение функции в этих точках. Сумму
будем называть интегральной суммой для в области .
Обозначим:
.
Рис.1.
Определение. Если существует , который не зависит ни от того, как область разбивалась на части, ни от того, как выбирались промежуточные точки , то этот предел называется двойным интегралом от функции в области и обозначается:
.
Геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим тело , которое сверху ограниченно поверхностью , снизу - плоской фигурой , которая находится на координатной плоскости ХОУ, по бокам - цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ(рис.1). Тогда значение двойного интеграла - это объем тела (рис.1).
- Сведение двойного интеграла к повторному
Пусть тело в трехмерном пространстве ограничено плоскостями . Предположим, что сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ, которая пересекает эту ось в точке с абсциссой ( ), имеет площадь . Тогда, как известно из темы «Применение интеграла Римана», объем тела будет вычисляться по формуле:
. (5)
Воспользуемся этой формулой для объема цилиндрического тела. Пусть сначала в его основе будет прямоугольник (рис.2). Сечение тела плоскостью является криволинейной трапецией ,проекция которой на координатную плоскость - (рис.2). Площадь полученного сечения будет равняться:
. (10)
Формула (10) имеет место для любого , поэтому
. (20)
Подставляя (20) в (5), получим:
. (30)
Учитывая геометрический смысл двойного интеграла, из формулы (30) получим:
. (40)
Формула (40) является формулой сведения двойного интеграла к повторному в случае, когда область .
Рис.2.
Пусть теперь область на ХОУ является криволинейной трапецией І типа и ограничена кривыми
(рис.3). Этот случай отличается от предыдущего тем, что раньше для каждого фиксированного значения изменялись на , а теперь , поэтому
.
Тогда
. (50)
Формула (50) является формулой сведения двойного интеграла к повторному в случае, когда область является криволинейной трапецией І типа.
Пусть теперь область на ХОУ является криволинейной трапецией ІІ типа (рис.4), тогда имеет место следующая формула сведения двойного интеграла к повторному:
. (60)
Если область на ХОУ является одновременно как криволинейной трапецией І, так и ІІ типа, то для вычисления двойного интеграла можно пользоваться формулами (50), (60) и при этом:
. (70)
Формула (70) - это формула замены порядка интегрирования.