Лекция 48. Тройной интеграл и его вычисление

План

Лекция 44. Двойные интегралы

Питання

Достатня умова рівності мішаних похідних

Визначення частинної похідної -го порядкуфункції багатьох змінних. Поняття мішаної похідної

Нехай , - відкрита. Нехай скрізь на множині у існує . Ця похідна також є функцією:

.

Може статися, що має в деякій точці частинну похідну по . Тоді цю частинну похідну називають похідною другого порядка від функції по змінним , в точці і позначають:

.

 

По індукції можна визначити частинну похідну від функції го порядку по змінним , яку позначають:

 

.

 

Якщо серед індексів є хоча б одна пара різних, то відповідна похідна називається мішаною.

 

Приклад. Нехай .

 

Теорема (достатня умова рівності мішаних похідних). Нехай , - відкрита. Нехай скрізь на множині у існують . Тоді у всіх точках, де вони неперервні, має місце рівність:

 

.

 

 

  1. Що називається вектор-функцією одного аргумента? Навести приклади вектор-функцій.
  2. Як визначається похідна вектор-функції?
  3. Зв’язок між неперервністю і диференційованістю вектор-функції.
  4. Що таке мішана похідна дійсної функції багатьох змінних?
  5. Як визначається частинна похідна від функції го порядку по змінним ?
  6. Чи завжди мішані похідні другого порядку є рівними? Достатня умова рівності мішаних похідних.

 

  1. Построение интегральной суммы для двойного интеграла. Определение двойного интеграла
  2. Криволинейные трапеции первого и второго типа.
  3. Сведение двойного интеграла к повторному
  1. Построение интегральной суммы для двойного интеграла. Определение двойного интеграла

Пусть в области определена функция . Разобьем область кривыми на конечное количество частей , ,..., , площади которых соответственно обозначим (рис.1). В каждой подобласти выберем произвольно точку , вычислим значение функции в этих точках. Сумму

 

 

 

будем называть интегральной суммой для в области .

Обозначим:

.

 

 

 

Рис.1.

 

Определение. Если существует , который не зависит ни от того, как область разбивалась на части, ни от того, как выбирались промежуточные точки , то этот предел называется двойным интегралом от функции в области и обозначается:

 

.

 

Геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим тело , которое сверху ограниченно поверхностью , снизу - плоской фигурой , которая находится на координатной плоскости ХОУ, по бокам - цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ(рис.1). Тогда значение двойного интеграла - это объем тела (рис.1).

  1. Сведение двойного интеграла к повторному

Пусть тело в трехмерном пространстве ограничено плоскостями . Предположим, что сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ, которая пересекает эту ось в точке с абсциссой ( ), имеет площадь . Тогда, как известно из темы «Применение интеграла Римана», объем тела будет вычисляться по формуле:

 

. (5)

 

Воспользуемся этой формулой для объема цилиндрического тела. Пусть сначала в его основе будет прямоугольник (рис.2). Сечение тела плоскостью является криволинейной трапецией ,проекция которой на координатную плоскость - (рис.2). Площадь полученного сечения будет равняться:

 

. (10)

 

Формула (10) имеет место для любого , поэтому

 

. (20)

 

Подставляя (20) в (5), получим:

 

. (30)

 

Учитывая геометрический смысл двойного интеграла, из формулы (30) получим:

 

. (40)

 

Формула (40) является формулой сведения двойного интеграла к повторному в случае, когда область .

 

 

Рис.2.

 

Пусть теперь область на ХОУ является криволинейной трапецией І типа и ограничена кривыми

 

 

 

(рис.3). Этот случай отличается от предыдущего тем, что раньше для каждого фиксированного значения изменялись на , а теперь , поэтому

 

.

 

Тогда

. (50)

 

Формула (50) является формулой сведения двойного интеграла к повторному в случае, когда область является криволинейной трапецией І типа.

Пусть теперь область на ХОУ является криволинейной трапецией ІІ типа (рис.4), тогда имеет место следующая формула сведения двойного интеграла к повторному:

 

. (60)

 

 

 

Если область на ХОУ является одновременно как криволинейной трапецией І, так и ІІ типа, то для вычисления двойного интеграла можно пользоваться формулами (50), (60) и при этом:

 

. (70)

 

Формула (70) - это формула замены порядка интегрирования.