Метод Крамера.
Метод обратной матрицы.
Правила решения систем.
1. Находят ранги основной и расширенной матрицы и если то система не совместна.
2. Если , то система совместна, в этом случае находят какой-нибудь базисный минор - того порядка и берут соответствующие ему - уравнений системы, отбрасывая остальные. Те переменные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными, остальные переменных называют свободными. Выражения со свободными переменными переносят в правую часть.
3. Находят выражение главных переменных через свободные и получают общее решение системы.
4. Придавая свободным переменным произвольные значения получают все значения главных переменных.
Методы решения систем линейных уравнений.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными
причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем систему в матричном виде
,
где , , .
Умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу
.
Так как , то получаем , откуда получаем равенство для нахождения неизвестных
.
Пример 27.Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений
Решение. Обозначим через основную матрицу системы
.
Пусть , тогда решение найдем по формуле .
Вычислим .
Так как , то и система имеет единственное решение. Найдем все алгебраические дополнения
, ,
, ,
, ,
, ,
Таким образом
.
Сделаем проверку
.
Обратная матрица найдена верно. Отсюда по формуле , найдем матрицу переменных .
.
Сравнивая значения матриц, получим ответ: .
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными
причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем решение системы в матричном виде или
Отсюда
Обозначим
. . . . . . . . . . . . . . ,
Таким образом, получаем формулы для нахождения значений неизвестных, которые называются формулами Крамера.
Пример 28.Решить методом Крамера следующую систему линейных уравнений .
Решение. Найдем определитель основной матрицы системы
.
Так как , то , система имеет единственное решение.
Найдем остальные определители для формул Крамера
,
,
.
По формулам Крамера находим значения переменных
Ответ: