Основные формулы
ПОДВЕРЖЕННОЙ ДЕЙСТВИЮ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ, ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ И КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБЫ,
(ЗАДАЧА № 9)
Рис. 2.21. Тонкостенная труба под действием внутреннего
давления, продольной силы и крутящего момента
|
Рассматривается цилиндрическая труба наружным радиусом R, толщиной стенки d (рис. 2.21). Отношение 
. Отношение длины l к радиусу 
. Труба нагружена внутренним давлением 
, по ее торцам приложены силы 
и крутящие моменты 
.
Напряжения в трубе обозначаем, используя местную декартову систему координат x, y, z: ось x параллельна оси трубы, ось z направлена по касательной к срединной линии поперечного сечения, осью y служит продолжение радиуса R.
Сила вызывает в поперечном сечении трубы продольное усилие 
и создает нормальное напряжение (рис. 2.22)
.
Рис. 2.23. Напряжения в трубе
от внутреннего давления
|
Здесь 
– площадь поперечного сечения тонкостенной трубы.
Рис. 2.22. Напряжения
в трубе от продольной силы
|
Внутреннее давление вызывает растяжение трубы в кольцевом направлении (рис. 2.23), чему соответствует напряжение 
в продольных сечениях трубы:
.
Рис. 2.24. Напряжения
в трубе от крутящего
момента
|
Напряжения положительны при 
. Случай 
отвечает давлению, приложенному к наружной поверхности.
Крутящий момент создает касательные напряжения (рис. 2.24):
.
Они направлены так, чтобы уравновесить пару сил М.
По толщине трубы напряжения 
распределены равномерно. Остальные напряжения либо в точности равны нулю, либо малы: 
, 
.
Напряженное состояние элементарного параллелепипеда, вырезанного из трубы (рис. 2.25), является плоским. Анализ напряженного состояния выполняется так же, как в задаче № 7.
Условие задачи
Труба радиусом сечения 
м толщиной 
см загружена продольной растягивающей силой 
кН, внутренним давлением 
МПа и крутящим моментом 
. Материал трубы – чугун с такими характеристиками: 
МПа, 
МПа, 
. Нормативный коэффициент запаса прочности 
.
Требуется:
1) найти напряжения на гранях элемента, выделенного из трубы;
2) найти главные напряжения и положения главных площадок;
3) проверить прочность и определить действительный коэффициент запаса прочности;
4) показать направление трещины, возникающей при повышении уровня напряженного состояния до критического.
В расчетно-графической работе студенту требуется, кроме того, вычислить напряжения по указанной наклонной площадке. Это задание выполняется так же, как в задаче № 7.
Решение
Начать решение задачи нужно с изображения трубы и действующих на нее сил. Рядом со стрелками указываются абсолютные значения сил. Знаки учитываются соответствующим направлением стрелок.
Проверим применимость к данной задаче формул для вычисления напряжений в тонкостенной трубе. Так как 
, то труба является тонкостенной. Следовательно, вышеприведенные формулы применимы.
Нормальное напряжение от продольного растяжения силой 
положительно.
Нормальное напряжение, вызванное внутренним давлением 
,
МПа
также положительно.
Касательное напряжение, вызванное моментом 
, по модулю равно
.
 Рис. 2.25. Напряженное
состояние точки трубы
|
Принимая во внимание направление крутящего момента (см. рис. 2.24) и учитывая правило знаков для касательного напряжения при плоском напряженном состоянии, получаем 
.
Теперь изобразим найденное напряженное состояние точки трубы в виде плоского рисунка, учтя правила знаков для напряжений.
Для последующей проверки прочности вычислим главные напряжений:
Главные напряжения, пронумерованные должным образом,
, 
, 
.
Тангенс угла наклона главной площадки
.
Отсюда два главных угла таковы:
.
Соответствие угла 
главным площадкам (1 или 2) устанавливается так же, как в задаче № 7. Главные направления 1 и 2 показаны на рис. 2.26. Проверку всех вычисленных значений можно выполнить, построив круг напряжений Мора. Построение описано при решении задачи № 7.
Материал является хрупким (чугун), поэтому прочность проверяем по второй теории прочности или по теории прочности Мора.
Согласно второй теории прочности
,
значит, прочность обеспечена.
Вычислим действительный коэффициент запаса прочности:
Рис. 2.26. Вероятное
направление трещин
|
.
Вероятная плоскость отрыва (трещины) перпендикулярна первому главному направлению, то есть наклонена к продольной оси трубы под углом 
. Она показана на рис. 2.26, где ось 
– продольная ось трубы. Направление вероятной плоскости отрыва на рисунке привязано к оси конструкции, значит, может быть показано и на самой конструкции.
Согласно пятой теории прочности (теории Мора)
,
то есть прочность также обеспечена. Фактический коэффициент запаса прочности таков:
.