ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 2 страница

3.3. Комплексы взаимных сопротивлений контуров:

(2.2)

Слагаемые в квадратных скобках определяются по правилам, указанным в задании 1, а взаимно индуктивные составляющие – в зависимости от ориентации контурных токов относительно одноименных полюсов катушек (если контурные токи одинаково ориентированы относительно одноименных полюсов катушек, то берется с знаком плюс, и, наоборот, при разной ориентации контурных токов это сопротивление учитывается с знаком минус).

3.4. Комплексы собственных сопротивлений контуров:

;

; (2.3)

Взаимно индуктивные сопротивления учитываются в собственных сопротивлениях только тогда, когда есть индуктивные связи внутри данного контура (остальные правила – те же).

3.5. Комплексы контурных ЭДС:

(2.4)

3.6. Система (2.1) решается относительно контурных токов , , . Для вычисления токов в ветвях предварительно зададимся их направлениями, например, как показано на рис.2.1, тогда

(2.5)

Таблица 2.4

Ток	A	A	A	A	A	A	A	A	A
Модуль
Аргумент (град)

3.7. Привести аналитические выражения для мгновенных значений токов ветвей ( ) и свести их в табл.2.5.

Таблица 2.5

Ветвь	, A	, A	, A	, A

4. Прежде, чем составлять систему уравнений по законам Кирхгофа, определяется общее количество необходимых уравнений. Оно равно числу ветвей в схеме – . Количество уравнений по первому закону Кирхгофа – ( ), где – число узлов. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно .

4.1. Система уравнений в символической форме по первому закону Кирхгофа имеет вид:

(2.6)

Раскроем подробнее выражение (2.6) для узлов 1, 2, 3 соответственно (рис.2.3, а направление токов в ветвях - см. рис.2.1):

(2.7)

4.2. Система уравнений в символической форме по второму закону Кирхгофа:

(2.8)

составляется так же, как и в цепях постоянного тока, но появляются слагаемые, связанные с взаимной индуктивностью, которые учитываются по следующему правилу. Если направление обхода элемента m и ток в ветви с элементом nодинаково ориентированы по отношению к одноименным полюсам индуктивности, то берется с положительным знаком, и, наоборот, если направление обхода элемента m и ток в ветви с элементом n по разному ориентированы по отношению к одноименным полюсам индуктивности, то имеет знак минус. Поэтому выражения (2.8) для первого, второго и третьего контуров (рис.2.3) соответственно примут вид (направления обхода контуров – по часовой стрелке):

, (2.9)

(2.10)

(2.11)

Погрешность выполнения равенств (2.9) ¸ (2.11) находится отдельно для вещественных и мнимых частей, в каждом случае она не должна превышать пяти процентов.

Выписать и свести в таблицу значения ЭДС в каждой ветви.

Таблица 2.6

Ветвь	, B	, B	, B	, B

5. Прежде, чем строить векторную диаграмму по, например, первому контуру, необходимо составить уравнение по второму закону Кирхгофа (уравнение (2.9)) и вычислить все составляющие этого уравнения.

На комплексной плоскости выбирается масштаб для векторов напряжения и строится векторная диаграмма на миллиметровой бумаге. При правильном построении векторы, просуммированные по правилу многоугольника, например, в левой части выражения (2.9), совпадут с геометрической суммой векторов ( ) в правой части.

6. Энергетический баланс мощностей, развиваемых источниками ЭДС и потребляемых в цепи, проверяется следующим образом.

6.1. Для активных мощностей:

(2.12)

где в левой части – алгебраические суммы активных мощностей источников, . Если мощность окажется отрицательной ( ), то это означает, что данный источник потребляет активную мощность (например, вместо генератора - электродвигатель). В правой части (2.12) – арифметическая сумма мощностей, рассеиваемых на активных сопротивлениях. Подробная запись (2.12) для схемы (рис.2.3) имеет вид:

(2.13)

Если направление источника ЭДС и тока ветви не совпадает, то слагаемые в левой части берутся с знаком минус.

6.2. Для реактивных мощностей:

(2.14)

где в левой части – алгебраическая сумма реактивных мощностей источников. Если мощность отрицательная ( ), значит источник потребляет реактивную мощность. В правой части (2.14) первое слагаемое – реактивные индуктивные мощности, второе слагаемое – реактивные емкостные мощности, третье слагаемое – реактивные мощности, обусловленные взаимно индуктивными связями между катушками ( – действующие значения токов в ветвях взаимно связанных катушек, – угол сдвига между начальными фазами токов в ветвях, ) . Знак плюс берется при согласном включении катушек, а минус – при встречном включении. Подробная запись выражения (2.14):

(2.15)

где Значения , , нетрудно определить из табл.2.4.

Согласное или встречное включение катушек в правой части выражения (2.14) определяется ориентацией токов в ветвях по отношению к одноименным полюсам катушек (если токи в индуктивно связанных ветвях одинаково ориентированы по отношению к одноименным полюсам, то включение – согласное, и, наоборот, если токи в ветвях по разному ориентированы по отношению к одноименным полюсам катушек, то включение – встречное).

П Р И М Е Р

1. Пусть задано: ; ; ; ; ; , тогда

2. Один из вариантов схемы приведен на рис.2.2, где

Схема в символической форме показана на рис.2.3, где

(В);

3. Расчет цепи методом контурных токов.

3.1. Определяем количество уравнений: = 6 – (4 – 1) = 3, где , .

3.2. Выбираем направление контурных токов (по часовой стрелке, рис.2.2, 2.3) и составляем систему уравнений:

(2.1)

3.3. Рассчитаем комплексы взаимных сопротивлений между контурами согласно (2.2):

;

3.4. Определяем по (2.3) комплексы собственных сопротивлений контуров:

3.5. Комплексы контурных ЭДС согласно (2.4) равны:

3.6. Решение системы (2.1) дает:

Токи в ветвях с учетом (2.5):

Значения контурных токов и токов в ветвях сведены в табл.2.4.

Таблица 2.4

Ток	A	A	A	A	A	A	A	A	A
Модуль (А)	0,546	0,267	0,421	0,546	0,267	0,421	0,722	0,65	0,267
Аргумент (град)	109,91	-11,415	208,239	109,91	-11,415	28,239	-51,645	-166,993	168,586

3.7. Аналитические выражения для мгновенных значений токов в ветвях нетрудно получить из табл.2.4. Например, для первой ветви , поэтому , где , а мгновенное значение тока . Остальные токи приведены в табл.2.5.