ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 2 страница

3.3. Комплексы взаимных сопротивлений контуров:

 

(2.2)

 

Слагаемые в квадратных скобках определяются по правилам, указанным в задании 1, а взаимно индуктивные составляющие – в зависимости от ориентации контурных токов относительно одноименных полюсов катушек (если контурные токи одинаково ориентированы относительно одноименных полюсов катушек, то берется с знаком плюс, и, наоборот, при разной ориентации контурных токов это сопротивление учитывается с знаком минус).

3.4. Комплексы собственных сопротивлений контуров:

 

;

; (2.3)

.

 

Взаимно индуктивные сопротивления учитываются в собственных сопротивлениях только тогда, когда есть индуктивные связи внутри данного контура (остальные правила – те же).

3.5. Комплексы контурных ЭДС:

 

(2.4)

 

3.6. Система (2.1) решается относительно контурных токов , , . Для вычисления токов в ветвях предварительно зададимся их направлениями, например, как показано на рис.2.1, тогда

 

(2.5)

 

Таблица 2.4

Ток A A A A A A A A A
Модуль                  
Аргумент (град)                  

 

3.7. Привести аналитические выражения для мгновенных значений токов ветвей ( ) и свести их в табл.2.5.

 

Таблица 2.5

Ветвь , A , A , A , A
       
       
       
       
       
       

 

4. Прежде, чем составлять систему уравнений по законам Кирхгофа, определяется общее количество необходимых уравнений. Оно равно числу ветвей в схеме – . Количество уравнений по первому закону Кирхгофа – ( ), где – число узлов. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно .

4.1. Система уравнений в символической форме по первому закону Кирхгофа имеет вид:

(2.6)

Раскроем подробнее выражение (2.6) для узлов 1, 2, 3 соответственно (рис.2.3, а направление токов в ветвях - см. рис.2.1):

 

(2.7)

4.2. Система уравнений в символической форме по второму закону Кирхгофа:

(2.8)

составляется так же, как и в цепях постоянного тока, но появляются слагаемые, связанные с взаимной индуктивностью, которые учитываются по следующему правилу. Если направление обхода элемента m и ток в ветви с элементом nодинаково ориентированы по отношению к одноименным полюсам индуктивности, то берется с положительным знаком, и, наоборот, если направление обхода элемента m и ток в ветви с элементом n по разному ориентированы по отношению к одноименным полюсам индуктивности, то имеет знак минус. Поэтому выражения (2.8) для первого, второго и третьего контуров (рис.2.3) соответственно примут вид (направления обхода контуров – по часовой стрелке):

, (2.9)

 

(2.10)

 

(2.11)

 

Погрешность выполнения равенств (2.9) ¸ (2.11) находится отдельно для вещественных и мнимых частей, в каждом случае она не должна превышать пяти процентов.

Выписать и свести в таблицу значения ЭДС в каждой ветви.

 

Таблица 2.6

Ветвь , B , B , B , B
       
       
       
       
       
       

5. Прежде, чем строить векторную диаграмму по, например, первому контуру, необходимо составить уравнение по второму закону Кирхгофа (уравнение (2.9)) и вычислить все составляющие этого уравнения.

На комплексной плоскости выбирается масштаб для векторов напряжения и строится векторная диаграмма на миллиметровой бумаге. При правильном построении векторы, просуммированные по правилу многоугольника, например, в левой части выражения (2.9), совпадут с геометрической суммой векторов ( ) в правой части.

 

6. Энергетический баланс мощностей, развиваемых источниками ЭДС и потребляемых в цепи, проверяется следующим образом.

6.1. Для активных мощностей:

 

(2.12)

где в левой части – алгебраические суммы активных мощностей источников, . Если мощность окажется отрицательной ( ), то это означает, что данный источник потребляет активную мощность (например, вместо генератора - электродвигатель). В правой части (2.12) – арифметическая сумма мощностей, рассеиваемых на активных сопротивлениях. Подробная запись (2.12) для схемы (рис.2.3) имеет вид:

 

(2.13)

 

Если направление источника ЭДС и тока ветви не совпадает, то слагаемые в левой части берутся с знаком минус.

6.2. Для реактивных мощностей:

 

(2.14)

где в левой части – алгебраическая сумма реактивных мощностей источников. Если мощность отрицательная ( ), значит источник потребляет реактивную мощность. В правой части (2.14) первое слагаемое – реактивные индуктивные мощности, второе слагаемое – реактивные емкостные мощности, третье слагаемое – реактивные мощности, обусловленные взаимно индуктивными связями между катушками ( – действующие значения токов в ветвях взаимно связанных катушек, – угол сдвига между начальными фазами токов в ветвях, ) . Знак плюс берется при согласном включении катушек, а минус – при встречном включении. Подробная запись выражения (2.14):

 

(2.15)

 

где Значения , , нетрудно определить из табл.2.4.

Согласное или встречное включение катушек в правой части выражения (2.14) определяется ориентацией токов в ветвях по отношению к одноименным полюсам катушек (если токи в индуктивно связанных ветвях одинаково ориентированы по отношению к одноименным полюсам, то включение – согласное, и, наоборот, если токи в ветвях по разному ориентированы по отношению к одноименным полюсам катушек, то включение – встречное).

 

П Р И М Е Р

 

1. Пусть задано: ; ; ; ; ; , тогда

 

,

,

.

 

2. Один из вариантов схемы приведен на рис.2.2, где

 

 

Схема в символической форме показана на рис.2.3, где

 

(В);

 

3. Расчет цепи методом контурных токов.

3.1. Определяем количество уравнений: = 6 – (4 – 1) = 3, где , .

3.2. Выбираем направление контурных токов (по часовой стрелке, рис.2.2, 2.3) и составляем систему уравнений:

(2.1)

 

3.3. Рассчитаем комплексы взаимных сопротивлений между контурами согласно (2.2):

 

;

;

.

 

3.4. Определяем по (2.3) комплексы собственных сопротивлений контуров:

 

 

3.5. Комплексы контурных ЭДС согласно (2.4) равны:

 

 

3.6. Решение системы (2.1) дает:

 

 

Токи в ветвях с учетом (2.5):

 

 

Значения контурных токов и токов в ветвях сведены в табл.2.4.

Таблица 2.4

 

Ток A A A A A A A A A
Модуль (А)   0,546   0,267   0,421   0,546   0,267   0,421   0,722   0,65   0,267
Аргумент (град)   109,91   -11,415   208,239   109,91   -11,415   28,239   -51,645   -166,993   168,586

 

3.7. Аналитические выражения для мгновенных значений токов в ветвях нетрудно получить из табл.2.4. Например, для первой ветви , поэтому , где , а мгновенное значение тока . Остальные токи приведены в табл.2.5.

Таблица 2.5

 

Ветвь , А , A , A , A
0,772 0,546
0,378 0,267
0,595 0,421
1,021 0,722
0,919 0,65
0,378 0,267

 

4. Общее количество уравнений по законам Кирхгофа: . Число уравнений по первому закону Кирхгофа: . Количество уравнений по второму закону Кирхгофа: .

 

4.1. Проверим справедливость системы (2.7):

 

 

4.2. Оценим тождественность уравнения (2.9):

 

 

С другой стороны:

 

 

Уравнение (2.10):

 

 

С другой стороны:

 

 

Уравнение (2.11):

 

.

 

С другой стороны:

 

.

 

В каждом уравнении погрешность в пределах нормы.

 

Мгновенные значения ЭДС для всех ветвей сведены в табл.2.6.

 

 

Таблица 2.6

 

Ветвь , В , В , В , В
35,36
130,108
18,385
66,468
96,167
100,409