Умова, при якій дві прямі лежать в одній площині

Відстань від точки до площини і від точки до прямої на площині

Відстань від точки до площини.Нехай в системі координат задані площина і точка (рис. 8.10).

Відстань від точки до цієї площини рівна модулю проекції вектора на напрямок нормального вектора , де довільна точка площини. Отже,

.

Так як точка належить даній площині, то , тобто . Отримаємо:

. (8.23)

Приклад 8.9.Знайти відстань від точки до площини .

Розв’язок. За формулою (8.23)

t

Відстань від точки до прямої на площині.Нехай в системі координат задана пряма і точка .

Відстань від точки до цієї прямої знаходиться за формулою

. (8.24)

Вивід формули (8.24) аналогічний до виводу формули (8.23).

Нехай прямі і задані рівняннями

, .

Їх напрямні вектори відповідно і (рис.8.11).

Точка лежить на прямій , а точка – на прямій . Умовою, при якій дві прямі належать одній площині, є компланарність векторів , , , тобто ( , , або

. (8.25)

При виконанні умови (8.25) прямі і перетинаються, якщо вектори , неколінеарні, і , якщо .

Приклад 8.10.Вияснити, чи перетинаються прямі

,

і, якщо перетинаються, знайти їх точку перетину.

Розв’язок. Точка лежить на першій прямій, а точка – на другій. Напрямні вектори даних прямих відповідно і . Умовою, при якій прямі перетинаються, є компланарність векторів , , . Знайдемо мішаний добуток даних векторів

.

Отже, умова (8.25) виконується, тобто прямі перетинаються.

Знайдемо точку перетину прямих, розв’язавши систему їх рівнянь:

Таким чином, точка перетину даних прямих має координати . t

Теоретичні питання