Рівняння площини, що проходить через три точки

Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Нехай в системі координат задані дві точки , . Складемо канонічні рівняння прямої, що проходить через ці точки (рис. 8.4).

В якості напрямного вектора візьмемо вектор і запишемо рівняння прямої (8.5), що проходить, наприклад, через точку , отримаємо рівняння прямої, що проходить через дві точки

. (8.12)

На площині рівняння прямої, що проходить через дві точки , , матиме вигляд:

. (8.13)

Приклад 8.6.Скласти рівняння прямої, що проходить через точки , .

Розв’язок. Підставимо координати точок і в рівняння (8.12), отримаємо

або . t

Нехай пряма перетинає вісь в точці , а вісь – в точці (рис. 8.5). В цьому випадку рівняння (8.13) набуде вигляду:

або . (8.14)

Рівняння (8.14) називається рівнянням прямої у відрізках, так як числа і вказують, які відрізки відтинає пряма на осях координат.

 

Нехай в системі координат задані три точки , , , що не лежать на одній прямій. Складемо рівняння лощини, що проходить через ці точки.

Для довільної точки , що належить цій площині, і тільки для точок цієї площини, вектори , , компланарні, а отже їх мішаний добуток рівний нулю, тобто

або в координатній формі:

. (8.15)

Рівняння (8.15) називається рівнянням площини, що проходить через три точки.

Приклад 8.7.Скласти рівняння площини, що проходить через точки , , .

Розв’язок. Підставимо координати точок , і в рівняння (8.15), отримаємо:

.

Так як

,

то рівняння площини приймає вигляд

або . t

Нехай площина відсікає на осях координат , , відповідно відрізки , тобто проходить через три точки , , (рис.8.7). Підставивши координати цих точок в рівняння (8.15), отримаємо:

або

. (8.16)

Рівняння (8.16) називається рівнянням площини у відрізках, так як числа , вказують, які відрізки відсікає площина на осях координат.