Рівняння лінії на площині

ЛІНІЇ НА ПЛОЩИНІ, ПОВЕРХНІ І ЛІНІЇ В ПРОСТОРІ

Лекції 7–8

Розділ ІIІ. ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Лінія на площині часто задається як множина точок, що має деякі геометричні властивості, які характерні тільки для цієї множини.

Введення на площині системи координат дозволяє визначити положення лінії на площині за допомогою рівняння, що пов’язує координати точок лінії.

Рівнянням лінії на площині називається таке рівняння з двома змінними, якому задовольняють координати довільної точки лінії і не задовольняють координати точок, що не лежать на ній.

Координати і довільної точки, що входять в рівняння лінії, називаються поточними координатами.

Приклад 7.1.Скласти рівняння кола радіуса з центром в початку координат.

Розв’язок. Як відомо, коло – це множина точок площини, рівновіддалених від даної точки, яку називають центром. Візьмемо на колі довільну точку . Відстань від цієї точки до центра кола рівна , тобто або . Отриманому рівнянню задовольняють координати довільної точки кола і не задовольняють координати точок, що не лежать на колі, так як для точок, що лежать всередині кола, , а для точок, що лежать зовні кола, . t

Приклад 7.2.Перевірити, чи лежать точки , на лінії .

Розв’язок. Підставимо в рівняння координати точки , отримаємо .

Підставимо в рівняння координати точки , отримаємо .

Отже, точка лежить на даній лінії, а точка не лежить на цій лінії. t

Методи аналітичної геометрії дозволяють вивчення властивостей лінії звести до вивчення властивостей їх рівнянь. Часто замість «дано рівняння лінії » говорять «дана лінія ».

Відмітимо, що множина точок площини, координати яких задовольняють рівнянню , може не утворювати лінію. Так, наприклад, рівнянню не задовольняють дійсні координати жодної точки; рівнянню задовольняють координати тільки однієї точки – ; множина точок, що задовольняє рівнянню , є двома прямими і .

Множину точок площини, координати яких задовольняють рівнянню , називатимемо фігурою.

Будь-яка лінія є фігурою, але не кожна фігура відповідає нашій уяві про лінію.