Властивості векторного добутку.
Векторний добуток векторів
Означення векторного добутку. Векторним добуткомдвох неколінеарних векторів і називається вектор , такий, що:
1) і , тобто перпендикулярний векторам і ;
2) направлений так, що вектори , , утворюють праву трійку;
3) має довжину, що дорівнює добутку довжин цих векторів на синус кута між ними, тобто , де .
Якщо вектори і колінеарні, то їх векторний добуток за означенням вважається рівним нульовому вектору.
Векторний добуток позначається .
Геометричний зміст векторного добутку. Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах (рис. 6.1 ).
1. .
Справедливість цієї властивості випливає з означення.
2. .
Доведення. Нехай . Вектор перпендикулярний векторам і (вектори і лежать в одній площині). Вектор також перпендикулярний векторам і . Отже, вектори і колінеарні. Очевидно, що їх напрямки співпадають. Вони мають однакову довжину:
і .
Тому . Аналогічно доведення при .
3. .
Приймемо без доведення.
4. Два ненульові вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх векторний добуток рівний нульовому вектору, тобто .
Доведення. Якщо , то вектор за означенням.
Якщо , то . Тоді або , тобто .
Приклад 6.8.Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах і , якщо , , , , .
Розв’язок. Використовуючи властивості векторного добутку, отримаємо
.
Тоді за означенням . t
Векторний добуток в координатній формі.Нехай в декартовій прямокутній системі координат задані вектори , або, що те ж саме, , .
Знайдемо векторний добуток цих векторів, перемноживши їх згідно властивостям 1–3:
. (6.11)
Векторні добутки , , , що входять в цю рівність, рівні нульовому вектору згідно властивості 4.
Векторний добуток є вектором, модуль якого рівний і колінеарний та однаково направлений з вектором , а отже . Аналогічно , (рис. 6.2). Згідно властивості 1 , , .
Підставивши знайдені добутки в (6.11), отримаємо
.
Цю рівність символічно можна записати у вигляді
. (6.12)
Приклад 6.9.Знайти , якщо , .
Розв’язок. Згідно (6.12) отримаємо
. t
Приклад 6.10.Знайти площу трикутника , якщо , , .
Розв’язок. Очевидно (рис. 6.2), що . Так як , , то
,
.
Отже, . t