Властивості скалярного добутку.
Скалярний добуток векторів
ДОБУТКИ ВЕКТОРІВ
Лекція 6
Означення скалярного добутку. Скалярним добуткомдвох ненульових векторів і називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
Якщо хоча б один із двох даних векторів нульовий, то їх скалярний добуток за означенням вважається рівним нулю.
Позначається або , або . Таким чином, за означенням,
, (6.1)
де .
Так як є проекцією вектора на вектор , а – проекцією вектора на вектор , то формулі (6.1) можна надати іншого вигляду:
, (6.2)
тобто скалярний добуток рівний добутку довжини одного з них на проекцію іншого на перший вектор.
1. .
Справедливість цієї властивості випливає з означення.
2. .
Доведення. .
3. .
Доведення.
.
4. Скалярний квадрат вектора рівний квадрату його довжини:
.
Доведення. .
Зокрема, .
Якщо добути корінь із скалярного квадрата вектора, то отримаємо не початковий вектор, а його модуль , тобто .
5. Якщо ненульові вектори і ортогональні, то їх скалярний добуток рівний нулю і навпаки, якщо скалярний добуток двох ненульових векторів рівний нулю, то ці вектори ортогональні.
Доведення. Так як , то , а отже і .
Якщо і , , то і .
Зокрема, .
Приклад 6.1.Знайти , якщо , , , ,
.
Розв’язок.
. t
Приклад 6.2.Знайти довжину вектора ,якщо , ,
.
Розв’язок.
t
Скалярний добуток в координатній формі.Нехай в декартовій прямокутній системі координат задані вектори , або, що те ж саме, , .
Знайдемо скалярний добуток цих векторів, перемноживши їх як многочлени згідно властивостям 1 – 3:
.
Згідно властивостям 4, 5, отримаємо:
. (6.3)
Таким чином, скалярний добуток векторів рівний сумі добутків їх однойменних координат.
За формулою (6.3) маємо
, (6.4)
звідки
. (6.5)
Приклад 6.3.Знайти довжину вектора .
Розв’язок. t
Нехай в декартовій прямокутній системі координат задані точки , .
Відстань між двома точками і рівна
. (6.6)
Так як , то кут між ненульовимивекторами і визначається за формулами:
,
тобто
. (6.7)
З останньої формули випливає умова перпендикулярності ненульових векторів і :
. (6.8)
Нехай кути, які утворює вектор з осями координат , , , відповідно рівні . Тоді проекції вектора на осі координат рівні
, , . (6.9)
Звідси
, , . (6.10)
Числа , , називаються напрямними косинусами вектора .
Підставивши вирази (6.9) в рівність (6.4), отримаємо
.
Скоротивши на , отримаємо співвідношення
.
Приклад 6.4.Довести, що діагоналі чотирикутника, заданого координатами вершин , , , , взаємно перпендикулярні.
Розв’язок. Складемо вектори і , що лежать на діагоналях даного чотирикутника:
; .
Знайдемо скалярний добуток цих векторів:
.
Згідно властивості 5, вектори і перпендикулярні, що й треба було довести. t
Приклад 6.5.Дано трикутник з вершинами в точках , , . Знайти проекцію сторони на сторону .
Розв’язок. Складемо вектори і , що лежать на сторонах даного трикутника:
; .
З формули (6.2) знаходимо
. t
Приклад 6.6.Знайти кут між векторами і , якщо , .
Розв’язок. За формулою (6.7) знаходимо
,
. t
Приклад 6.7.Знайти напрямні косинуси вектора , якщо , .
Розв’язок. Знайдемо координати і довжину вектора :
,
.
За формулами (6.10)
, , . t