Властивості скалярного добутку.

Скалярний добуток векторів

ДОБУТКИ ВЕКТОРІВ

Лекція 6

Означення скалярного добутку. Скалярним добуткомдвох ненульових векторів і називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Якщо хоча б один із двох даних векторів нульовий, то їх скалярний добуток за означенням вважається рівним нулю.

Позначається або , або . Таким чином, за означенням,

, (6.1)

де .

Так як є проекцією вектора на вектор , а – проекцією вектора на вектор , то формулі (6.1) можна надати іншого вигляду:

, (6.2)

тобто скалярний добуток рівний добутку довжини одного з них на проекцію іншого на перший вектор.

1. .

Справедливість цієї властивості випливає з означення.

2. .

Доведення. .

3. .

Доведення.

.

4. Скалярний квадрат вектора рівний квадрату його довжини:

.

Доведення. .

Зокрема, .

Якщо добути корінь із скалярного квадрата вектора, то отримаємо не початковий вектор, а його модуль , тобто .

5. Якщо ненульові вектори і ортогональні, то їх скалярний добуток рівний нулю і навпаки, якщо скалярний добуток двох ненульових векторів рівний нулю, то ці вектори ортогональні.

Доведення. Так як , то , а отже і .

Якщо і , , то і .

Зокрема, .

Приклад 6.1.Знайти , якщо , , , ,

.

Розв’язок.

. t

Приклад 6.2.Знайти довжину вектора ,якщо , ,

.

Розв’язок.

t

Скалярний добуток в координатній формі.Нехай в декартовій прямокутній системі координат задані вектори , або, що те ж саме, , .

Знайдемо скалярний добуток цих векторів, перемноживши їх як многочлени згідно властивостям 1 – 3:

.

Згідно властивостям 4, 5, отримаємо:

. (6.3)

Таким чином, скалярний добуток векторів рівний сумі добутків їх однойменних координат.

За формулою (6.3) маємо

, (6.4)

звідки

. (6.5)

Приклад 6.3.Знайти довжину вектора .

Розв’язок. t

Нехай в декартовій прямокутній системі координат задані точки , .

Відстань між двома точками і рівна

. (6.6)

Так як , то кут між ненульовимивекторами і визначається за формулами:

,

тобто

. (6.7)

З останньої формули випливає умова перпендикулярності ненульових векторів і :

. (6.8)

Нехай кути, які утворює вектор з осями координат , , , відповідно рівні . Тоді проекції вектора на осі координат рівні

, , . (6.9)

Звідси

, , . (6.10)

Числа , , називаються напрямними косинусами вектора .

Підставивши вирази (6.9) в рівність (6.4), отримаємо

.

Скоротивши на , отримаємо співвідношення

.

Приклад 6.4.Довести, що діагоналі чотирикутника, заданого координатами вершин , , , , взаємно перпендикулярні.

Розв’язок. Складемо вектори і , що лежать на діагоналях даного чотирикутника:

; .

Знайдемо скалярний добуток цих векторів:

.

Згідно властивості 5, вектори і перпендикулярні, що й треба було довести. t

Приклад 6.5.Дано трикутник з вершинами в точках , , . Знайти проекцію сторони на сторону .

Розв’язок. Складемо вектори і , що лежать на сторонах даного трикутника:

; .

З формули (6.2) знаходимо

. t

Приклад 6.6.Знайти кут між векторами і , якщо , .

Розв’язок. За формулою (6.7) знаходимо

,

. t

Приклад 6.7.Знайти напрямні косинуси вектора , якщо , .

Розв’язок. Знайдемо координати і довжину вектора :

,

.

За формулами (6.10)

, , . t