Лінійні операції над векторами в координатній формі
Нехай заданий базис і вектори ( , , ), або, що те ж саме, , .
Сума векторів.Запишемо суму векторів
або, згідно властивостям лінійних операцій над векторами,
. (5.3)
Таким чином, при додаванні векторів їх відповідні координати додаються.
Добуток вектора на число.Помножимо вектор на число :
або
. (5.4)
Тобто при множенні вектора на число координати вектора множаться на це число.
Приклад 5.1.В базисі дано вектори , . Знайти вектор .
Розв’язок. Згідно формулам (5.3), (5.4)
.
Відповідь: t
Рівність векторів.З означення вектора як направленого відрізка, який можна переміщати в просторі паралельно самому собі, випливає, що два вектори і рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх координати:
Колінеарність векторів.Вияснимо умови колінеарності векторів і ,заданих своїми координатами.
Так як , то за властивостями добутку вектора на число можна записати , де – деяке число, тобто
.
Звідси , , , тобто , , або
. (5.5)
Таким чином, координати колінеарних векторів пропорційні. Справедливе і обернене твердження: вектори, що мають пропорційні координати, колінеарні.
Зауваження. Співвідношення (5.5) умовно записуватимемо і у випадку, коли серед чисел , , є рівні нулю.
Нехай на площині заданий базис і вектори , . В цьому випадку мають місце формули, аналогічні формулам (5.3) – (5.5).
Приклад 5.2.Перевірити, чи колінеарні вектори і , задані в базисі :
а) , ; б) , .
Розв’язок. Згідно формули (5.5):
а) , а отже .
б) .
Так як друга координата в обох векторів рівна нулю, то їх можна розглядати як вектори, задані на площині в базисі , а отже і . t
Приклад 5.3.В базисі дано вектори , . Показати, що вектори утворюють базис, і знайти координати вектора в базисі .
Розв’язок. Якщо два вектори утворюють базис, то вони неколінеарні. Згідно формули (5.5):
,
а отже вектори неколінеарні і утворюють базис.
В новому базисі вектор можна представити у вигляді лінійної комбінації
,
де коефіцієнти , – невідомі і є координатами вектора в базисі .
Знайдемо ці координати. Для цього розпишемо розклад вектора в координатній формі:
,
що рівносильно системі двох лінійних рівнянь з двома невідомими
Розв’яжемо цю систему за формулами Крамера:
; .
Обчислимо визначники:
;
;
.
Отримаємо ; .
Відповідь: . t
Приклад 5.4.В базисі дано вектори , , . Показати, що вектори утворюють базис, і знайти координати вектора в базисі .
Розв’язок. Якщо три вектори утворюють базис, то жоден з них не є лінійною комбінацією двох інших. Тоді визначник, складений з координат цих векторів, відмінний від нуля, так як лінійні операції над векторами зводяться до відповідних лінійних операцій над їх координатами. Обчислимо цей визначник:
.
Отже, вектори утворюють базис.
В новому базисі вектор можна представити у вигляді лінійної комбінації
,
де коефіцієнти – невідомі і є координатами вектора в базисі .
Знайдемо ці координати. Для цього розпишемо розклад вектора в координатній формі:
,
що рівносильно системі трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
Розв’яжемо цю систему за формулами Крамера:
; ; .
Очевидно, що визначник як визначник транспонованої матриці:
.
Обчислимо
Отримаємо ; ;
Відповідь: . t