Правило розв’язання довільних лінійних систем.

Розв’язання довільних лінійних систем. Теорема Кронекера-Капеллі

Нехай дана довільна система т лінійних рівнянь з п невідомими

Відповідь на питання щодо сумісності цієї системи дає терема Кронекера-Капеллі:

Теорема 4.1. Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг розширеної матриці системи рівний рангу основної матриці.

Приймемо її без доведення.

Правила знаходження всіх розв’язків сумісної системи лінійних рівнянь випливають з наступних теорем:

Теорема 4.2. Якщо ранг сумісної системи рівний кількості невідомих, то система має єдиний розв’язок.

Теорема 4.3.Якщо ранг сумісної системи менший кількості невідомих, то система має безліч розв’язків.

1. Знайти ранги основної і розширеної матриць системи. Якщо , то система несумісна.

2. Якщо , то система сумісна. Знайти базисний мінор порядку . Взяти рівнянь, з коефіцієнтів яких складений базисний мінор (інші рівняння відкинути). Невідомі, коефіцієнти при яких входять в базисний мінор, називають базисними або основними і залишають зліва, а інші невідомих називають вільними або неосновними і переносять в праві частини рівнянь.

3. Виразити базисні невідомі через вільні. Отримаємо загальний розв’язок системи.

4. Надаючи вільним невідомим довільних значень, отримаємо відповідні значення базисних невідомих. Таким чином можна знайти частинні розв’язки системи рівнянь.