Рівняння затухаючого коливання. Диференціальне рівняння згасаючих коливань і його розв’язання

Усі реальні коливальні системи є дисипативними. Енергія механічних коли­вань такої системи поступово витрачається на роботу проти сил опору, тому вільні коливання завжди згасаючі - їх амплітуда
поступово зменшується.

Для пружинного маятника масою m, що здійснює малі коливання під дією
пружної сили , сила опору пропорційна до швидкості, тобто

, ,

де – коефіцієнт опору.

Другий закон Ньютона для згасаючих коливань має наступний вигляд:

,

Введемо позначення

, ,

де – коефіцієнт згасання, а – власна частота з якою здійснювались би вільні коливання за відсутності опору середовища.

Тоді другий закон Ньютона можна записати у вигляді

.

Для розв’язання цього рівняння введемо нову змінну u, яка зв’язана з x співвідношенням . Звідси

,

.

Підставивши ці значення і в рівняння другого закону Ньютона для зга­саючих коливань і скорочуючи всі доданки на множник , отримуємо

.

Нехай опір середовища малий і . Тоді можна ввести позначення

.

В результаті отримуємо рівняння

,

розв’язок якого має такий вигляд

,

де і – сталі, які визначаємо з початкових умов. Отже,

,

де - амплітуда загасаючих коливань, а - початкова амплітуда. Амплітуда згасаючих коливань зменшується з плином часу і тим скоріше, чим більший коефіцієнт опору і чим менша маса коливного тіла.

Величина називається власною циклічною частотою коливань дисипативної системи. Графік залежності x від часу наведений на рис. 36.

Згасаючі коливання – неперіодичні коливання, бо в них ніколи не повторюються, наприклад, максимальні значення змі­щення, швидкості і прискорення. Однак при згасаючих коливаннях величина x перетворюється в нуль, змінюючись в один і той самий бік, а також досягає максимальних і мінімальних значень через однакові проміжки часу:

.

Величину T тому називають періо­дом згасаючих коливань.

Якщо і – амплітуди двох послідовних коливань, що йдуть одне за одним через проміжок часу T, то відношення

називається декрементом згасання, а його натуральний логарифм

æ

– логарифмічний декремент згасання.

Добротністю коливальної системи називається величина , яка дорівнює добутку на відношення енергії коливальної системи в довільний момент часу t до зменшення цієї енергії за проміжок часу від t до t+T:

.

Оскільки енергія пропорційна до квадрата амплітуди коливань, то

.

При малих значеннях æ (æ<<1)

і

.

Тут враховано, що при æ<<1 і умовний період Т згасаючих коливань практично дорівнює періоду вільних коливань.

12.Сучасні види телекомунікацій. Фізичні основи використання електромагнітних коливань та хвиль в роботі ЕОМ та АСУЕлектромагнітні хвилі – це процес поширення електромагнітних коливань у просторі з кінцевою швидкістю.

Їх передбачив у 1832 році Фарадей, а в 1860 році теоретично довів Максвелл. Якщо привести у коливальний рух електричний заряд, то поблизу від нього почне періодично змінюватися електричне поле, яке у свою чергу утворить періодично змінне магнітне поле. Ці зміни поширюватимуться у просторі. Поширення в просторі електромагнітного поля з часом називають електромагнітною хвилею. У просторі, який оточує заряд, виникає система взаємно перпендикулярних електричного і магнітного полів, які періодично змінюються.

Електромагнітна хвиля – поперечна. Головною умовою для її існування є прискорення при русі електричного заряду.

У 1888 році німецький учений Герц експериментально відкрив електромагнітні хвилі, передбачені теорією. Учений сконструював високочастотний генератор електричних коливань і резонатор – приймач цих коливань. Коливання високої частоти можна отримати за допомогою коливального контуру. Частота коливань буде тим більшою, чим менше значення індуктивності котушки та електроємності конденсатора. Для цього коливальний контур Герц зробив відкритим. Відкритий коливальний контур – це два провідники, з’єднані котушкою індуктивності.

Провівши багато дослідів, Герц прийшов до висновку про існування електромагнітних хвиль, які поширюються з кінцевою швидкістю. Він також зазначив, що електромагнітні хвилі поводять себе подібно до інших видів хвиль, та обчислив на досліді швидкість електромагнітної хвилі, яка виявилася рівною швидкості світла (три помножити на десять у восьмій степені метрів на секунду).

Форма і фізичні властивості земної поверхні, стан атмосфери впливають на

поширення радіохвиль. Електропровідний шар атмосфери – іоносфера – має здатність поглинати і відбивати електромагнітні хвилі. Радіохвилі за довжиною можна розділити:

- Ультракороткі хвилі. Їх довжина менше 10 метрів. Використовують для радіозв’язку між радіостанціями, які знаходяться на поверхні Землі.

- Короткі хвилі довжиною від 10 до 100 метрів. Зв'язок відбувається тільки в межах прямої видимості антени передавача.

- Середні хвилі. Їх довжина від 100 до 1000 метрів. Використовуються для радіотелеграфного зв’язку на великих відстанях.

- Довгі хвилі поширюються далеко за межі видимого обрію, огинають земну поверхню. Їх довжина понад 1000 метрів.

Радіолокація – виявлення і точне визначення місцезнаходження об’єктів за допомогою радіохвиль. Для визначення відстані до предмета використовують імпульсний режим випромінювання. Відстань до предмета можна розрахувати як добуток швидкості хвилі на час її поширення, поділений на два.