Загальні відомості про коливальні процеси.2. Гармонічні коливання. Рівняння гармонічного коливання гармонічних коливань
Тема 7. Електромагнітні коливання і хвилі.
Коливанням називається всякий рух або зміна стану тіла, що характеризується тим чи іншим ступенем повторюваності в часі значень фізичних величин, які визначають цей рух або стан тіла.
Коливання називаються періодичними, якщо значення фізичних величин, які змінюються в процесі коливань, повторюються через однакові проміжки часу. Найпростішим типом періодичних коливань є так звані гармонічні коливання – коливання, при яких значення фізичної величини змінюється з часом за законом косинуса (синуса).
Коливання називаються вільними або власними, якщо вони здійснюються за рахунок енергії, яка була надана, за відсутності в наступному зовнішніх періодичних впливів на коливну систему.
Нехай матеріальна точка здійснює вільні гармонічні коливання вздовж осі координат біля положення рівноваги, яке прийняте за початок координат. Тоді залежність координати х від часу задається рівнянням
.
тут x – зміщення коливної точки; – амплітуда коливання ; – власна циклічна частота; – початкова фаза коливань в момент часу ; – фаза коливань в момент часу t.
Найменший проміжок часу Т, після проходження якого повторюються значення всіх фізичних величин, що характеризують коливання, називається періодом коливання. За час Т здійснюється одне
повне коливання і фаза коливань отримує приріст , тобто
.
Звідси
.
Частотою коливань називається кількість повних коливань, що здійснюються за одиницю часу:
,
де N – кількість коливань, виконаних за час t. Частота коливань – величина, яка обернена до періоду коливань:
.
Циклічна частота
.
Отже, циклічна частота дорівнює кількості повних коливань, що здійснюється за 2p с.
Коливальний процес характеризується швидкістю і прискоренням коливної точки:
,
,
де – амплітуда швидкості, – амплітуда прискорення. Зміщення, швидкість і прискорення точки, що гармонічно коливається, є періодичними функціями часу з однаковими циклічною частотою і періодом Т. Фаза швидкості відрізняється від фази зміщення на , а фаза прискорення відрізняється від фази зміщення на (рис. 23).
В моменти часу, коли , швидкість набуває найбільшого значення, коли ж досягає максимального від’ємного значення, то прискорення набуває найбільше додатне значення.
Прискорення завжди напрямлене до положення рівноваги: віддаляючись від положення рівноваги, коливна точка рухається сповільнено, наближаючись до нього – прискорено. Прискорення прямо пропорційне до зміщення, а його напрямок протилежний до напрямку зміщення.
Другий закон Ньютона дає змогу в загальному вигляді записати зв’язок між силою і прискоренням для вільних гармонічних коливань матеріальної точки з масою :
.
Сила, що діє на коливну матеріальну точку прямо пропорційна до зміщення і завжди напрямлена до положення рівноваги. Тому її називають повертальною силою. Фаза сили збігається з фазою прискорення.
Прикладом сил, що задовольняють співвідношення , є пружні сили. Сили , що мають іншу природу, ніж пружні сили, але також задовольняють умову , називаються квазіпружними, а – коефіцієнтом квазіпружної сили.
Для вільних гармонічних коливань вздовж осі OX прискорення . Тоді
,
і
,
Це диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань, збуджених пружними або квазіпружними силами.
Загальними розв’язками цього диференціального рівняння є функції:
або .
Кінетична енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює:
.
Потенціальна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання під дією квазіпружної сили, дорівнює:
.
Кінетична і потенціальна енергії здійснюють гармонічні коливання з циклічною частотою і амплітудою біля середнього значення .
Повна механічна енергія коливної точки:
.
Графіки залежностей , і від часу для випадку наведено на рис. 24.
Квазіпружна сила є консервативною. Тому повна енергія гармонічного коливання залишається сталою. У процесі коливання відбувається перетворення кінетичної енергії в потенціальну і навпаки. В момент найбільшого відхилення точки від положення рівноваги повна енергія складається лише з потенціальної енергії. При проходженні точки через положення рівноваги повна енергія складається лише з кінетичної енергії, яка в цей момент є максимальною.