Определение скоростей и ускорений точек методом кинематических диаграмм

Пусть в масштабе построили траекторию точки М (рис.4.7а). По этой траектории на верхнем графике рис.4.7б построена кривая перемещений так, что и так далее. Через обозначен масштаб графика перемещений, который выбирается произвольно, исходя из удобства построения и размещения чертежа. Теперь покажем порядок графического дифференцирования графика перемещений, чтобы получить график скорости.

Рис.4.7 Схема построения кинематических диаграмм

Скорость является первой производной перемещения по времени. Из математики известно, что графически производная к кривой в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в этой точке. С достаточной для нас точностью касательную заменяем хордой на каждом интервале отрезков времени. Поэтому график перемещений уже представлен не плавной кривой, а прямыми отрезками – хордами и излагаемый здесь метод графического дифференцирования называется методом хорд.

Заменяя на каждом отрезке времени на оси абсцисс истинный график хордами, мы усредняем на этих участках значения скорости. Поэтому, получаемые ординаты будут откладываться посередине соответствующего участка.

Итак, выбираем произвольно полюсное расстояние Н и из точки р проводим лучи р-1’, р-2’, р-3’ и так далее. Эти лучи, во-первых, параллельны хордам соответствующих участков и, во-вторых, отсекают на оси ординат отрезки, равные усредненной первой производной перемещения по времени на соответствующем участке. Откладываем отрезок 01’ посередине первого интервала оси абсцисс на графике скорости; отрезок 02’ посередине второго интервала; отрезок 03’ посередине третьего интервала и так далее. Теперь полученные точки нужно соединить плавной кривой и для этого поступают следующим образом: через точки 1’, 2’, 3’, и так далее на графике скорости v проводят горизонталь и эти точки соединяют так, чтобы площади между кривой и горизонталью над ней и под ней были примерно одинаковые. Это правило помогает построить кривую на участках экстремумов, а в других местах кривой оно обычно выполняется автоматически. Этим же правилом объясняется то, что график скорости начинается не с нуля, а выше.

Теперь найдем масштаб, в котором получили график скорости. Значение скорости по нижнему графику рис.4.7б на первом интервале равно

Это же значение по верхнему графику равно

Приравнивая эти два выражения, получаем формулу для вычисления масштаба графика скорости по масштабам графика перемещений:

Если полученный график скорости тоже продифференцировать графически, то получим график ускорений в масштабе, определяемом аналогично формуле (4.7):

Вернемся теперь к произвольному выбору полюсного расстояния Н: чем больше это расстояние, тем крупнее получается искомый график, что и учитывается в масштабах.

И последнее: надо иметь в виду, что изложенный метод графического дифференцирования для получения кинематических диаграмм не является единственным.