Методы выбора кривых роста

Существует несколько практических подходов, облегчающих про­цесс выбора формы кривой роста.

Наиболее простой путь - это визуальный, опирающийся на графи­ческое изображение временного ряда. Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует фактическому развитию процесса. Если на графике исходного ряда тенденция развития недостаточно четко просмат­ривается, то можно провести некоторые стандартные преобразования ряда (например, сглаживание), а потом подобрать функцию, отвечающую гра­фику преобразованного ряда. В современных пакетах статистической об­работки имеется богатый арсенал стандартных преобразований данных и широкие возможности для графического изображения, в том числе в раз­личных масштабах. Все это позволяет существенно упростить для иссле­дователя проведение данного этапа.

В статистической литературе описан метод последовательных разностей, помогающий при выборе кривых параболического типа. Это метод применим при выполнении следующих предположений: уровни временно­го ряда могут быть представлены в виде суммы систематической состав­ляющей и случайной компоненты, подчиненной нормальному закону рас­пределения с математическим ожиданием, равным 0, и постоянной дисперсией. Метод предполагает вычисление первых, вторых и т. д. разностей уровней ряда:

Dу_t =y_t-y_t-1

D²у_t =Dу_t-1

и т.д.

Расчет ведется до тех пор, пока разности не будут примерно равны­ми. Порядок разностей принимается за степень выравнивающего полино­ма.

Существенную помощь при выборе кривых роста из более широко­го класса функций может оказать метод характеристик прироста.

Процедура выбора кривых с использованием этого метода включает следующие шаги:

1) выравнивание ряда по скользящей средней;

2) определение средних приростов;

3) вычисление производных характеристик прироста.

Для многих видов кривых были найдены такие преобразования приростов, которые линейно изменялись относительно t или были постоянны. В связи с этим исследование рядов характеристик приростов часто оказывает существенную помощь при определении законов развития ис­ходных временных рядов.

Данный метод является более универсальным по сравнению с мето­дом последовательных разностей.

Однако, чаще всего на практике к выбору формы кривой подходят исходя из значений критерия, в качестве которого принимают сумму квадратов отклонений фактических значений уровня от расчетных, получаемых выравниванием. Из рассматриваемых кривых предпочтение будет отдано той, которой соответствует минимальное значение критерия, т.к. чем меньше значение критерия, тем ближе к кривой ложатся данные наблюде­ний.

Используя этот подход, следует иметь в виду ряд моментов. Во-первых, к ряду, состоящему из m точек можно подобрать многочлен сте­пени (m-1), проходящий через все m точек. Кроме того, существует мно­жество многочленов более высоких степеней, также проходящих через все эти точки. Для этих многочленов значение критерия будет равно 0, однако, очевидно, что такая кривая не слишком пригодна как для выделения тенденции, так и для целей прогнозирования.

Также следует учитывать, что за счет роста сложности кривой мож­но увеличить точность описания тренда в прошлом, однако доверительные интервалы при прогнозировании будут существенно шире, чем у более простых кривых при одинаковом периоде упреждения, например, за счет большего числа параметров.

Таким образом, использование этого подхода должно проходить в два этапа. На первом - происходит ограничение приемлемых функций, ис­ходя из содержательного анализа задачи. На втором - осуществляется рас­чет значений критерия и выбор на его основе наиболее подходящей кри­вой роста. Необходимость содержательного анализа изучаемого процесса развития может быть проиллюстрирована следующими примерами.

Предположим, что на ретроспективном участке ряд динамики мо­жет быть хорошо описан с помощью экспоненциальной кривой. Однако, первая половина логистической кривой также представлена экспонентой. Поэтому принять гипотезу об экспоненциальной тенденции ряда в буду­щем можно только после проведения содержательного анализа, в ходе ко­торого следует дать ответ на вопрос: возможно ли наступление «насыщения» при данной совокупности условий. Например, процесс производства может быть ограничен матери­альными ресурсами или производственными мощностями.

Возможна ситуация, когда наилучшей функцией по данному крите­рию будет признана прямая, однако, полученное на ее основе прогнозное значение будет отрицательным. Если из экономической сути показателя вытекает невозможность отрицательных значений (например, при прогно­зировании объема выпускаемой продукции), то, естественно, следует отказаться от этой функции, выбрав менее «удачную» по данному критерию, но более соответствующую содержательному смыслу показателя. Например, более подходящей в этом случае может оказаться экпоненциальная кривая (5.21) (при значении параметра b<1).

В современных пакетах статистической обработки данных и анали­за временных рядов представлен широкий спектр кривых роста.