Свойства и вычисление определенных интегралов.

Упражнения

1. Пусть отрезок [а; b] оси ox – материальная нить, у которой - заданная линейная плотность вещества, распределенного по этой нити (линейная плотность - это масса единицы длины). Получить формулу для массы всей нити.

Ответ: (14)

2. Пусть – объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции (рис.1(а)) вокруг оси ox . Получить формулу для объема этого тела.

Ответ: (15)

3. Пусть – длина участка кривой с абсциссами концов и (рис. 5.1(а)). Получить формулу для длины этого участка.

Ответ: (16)

Начнем с того, что введем понятие определенного интеграла без привязки его к каким-либо геометрическим, физическим и экономическим задачам (что было сделано выше ). То есть введем его сугубо математически.

Пусть - некоторая непрерывная функция, заданная на некотором числовом промежутке [а; b] оси ox. Разобьем его на бесконечно большое число бесконечно малых участков длиной и выберем на каждом некоторую точку . Так как каждый из этих участков бесконечно мал (то есть фактически представляет собой точку), то и есть эта точка. Тогда - бесконечно малое число (смысл его зависит от смысла функции и может быть самым разным - см. предыдущий параграф). А сумма всех этих бесконечно малых чисел называется определенным интегралом

(17)

от функции с пределами интегрирования и (нижним и верхним).

Ниже мы покажем, что при непрерывной подынтегральной функции и конечных пределах интегрирования а и b определенный интеграл (13) заведомо существует (представляет собой некоторое конечное число ). То есть при указанных условиях

- число. (18)

Равенство (18) будем считать математическим определением определенного интеграла. Определенным он называется потому, что в отличие от неопределенного интеграла , представляющего собой бесчисленное множество функций, он представляет собой вполне определенное число. Таким образом, несмотря на внешнее сходство в обозначениях определенного и неопределенного интегралов, это совершенно разные вещи. Впрочем, как это ни удивительно, между ними имеется связь. Но об этом мы поговорим несколько позже.

А сейчас подтвердим, что в случае непрерывной подынтегральной функции и конечных пределов интегрирования определенный интеграл (17) действительно представляет собой некоторое конечное число. Для этого рассмотрим все возможные случаи относительно функции .

а) Пусть непрерывная функция для всех . Тогда, согласно (4), определенный интеграл (17) можно представлять себе как площадь криволинейной трапеции (рис.6). И эта площадь S заведомо представляет собой число:

- число (19)

б) Пусть непрерывная функция для всех . Тогда функция для всех (см. рис. 5). В этом случае

(20)

То есть и в этом случае - число (только отрицательное). А именно, этот интеграл, как и в случае (а), представляет собой площадь криволинейной трапеции, заключенной между осью ох и графиком функции , только со знаком минус (рис. 8):

(21)

в) Наконец, если на части отрезка функция, а на другой части этого отрезка функция (рис 9), то

То есть и в этом случае представляет собой число.

Итак, подтверждение получено: для любой непрерывной на конечном промежутке функции f(x) определенный интеграл существует (представляет собой некоторое число).

Заметим, что определенные интегралы рассматривают и для разрывных подынтегральных функций, а также тогда, когда пределы интегрирования бесконечные. В таких случаях определенные интегралы могут и не существовать. Об этих интегралах мы поговорим позднее.