Лекция к занятию №23. Формулы Ньютона-Котеса: методы прямоугольников, трапеций, метод парабол.
XIX
XVIII
XVII
XVI
XV
Древнерусское государство
Аварский каганат
Гунны
Вестготы
Остготы
Черняховская культура
(Поднепровье, Поднестровье)
запад
Пиренейский п-ов
Гермонарика (германское королевство III в н.э.)
Хазарский каганат – Прикаспий. В 965 г. Разгромлен Святославом.
Днепровский союз племен во главе с полянами
+
Словено-новгородский союз племен (р. Волхов, оз. Ильмень)
=
(от Ладоги до Онеги и от Чудского озера до Волги)
кроме того: Саркел (Белая Вежа) и Тмутараканское княжество
крымчаки=половцы=сарацины
Ярослав (Юрий) à г. Юрьев à Тарту
Вятичи, кривичи – Терский берег (южное побережье Кольского п-ва)
Вторжение шведов и крестоносцев
1222 – татаро-монголы оказываются на территории половцев
В их армии десятеричная система. 10.000 = тьма. Войско состояло из покоренных народов.
Татарские ханства: Крымское, Астраханское, Казанское, Ногайская орда
Ужгород находился в составе Венгерского королевства
Тевтонцы и меченосцы объединились в Ливонский орден
На территории Финляндии: карелы, саамы, шведы
1385 – уния литовцев с Польшей; христианизация Литвы (католичество)
1380 – начало осознания себя русскими (Куликовская битва)
XV – XVI - захват берегов Финского залива шведами
Соперничество Москвы и Твери
Объединение Москвы, Твери и Новгорода. Присоединение Пскова и Рязани.
Присоединены чуваши, мордва, марийцы, башкиры, Воронеж, Елец.
Ингерманландия принимает православие и лютеранство (от шведов).
Финноязычный и славянский компоненты.
После Северной войны присоединяются карелы, ижорцы, водь, вепсы – Карелия, Прибалтика.
Также много немцев – Остзейское дворянство.
Разделы Польши 1772, 1773, 1795.
Присоединяются крымские татары.
Присоединение Финляндии.
Дальше перечень стран, не знаю к чему он:
Латвия, Эстония, Литва
Белоруссия, Украина, Бессарабия (Румыния)
Грузия, Армения, Азербайджан, Абхазия
Цель: познакомиться с формулами численного вычисления определённого интеграла.
План:
1. Предварительные соображения.
2. Формулы прямоугольников.
3. Пример решения задачи с помощью формулы прямоугольников.
4. Формулы трапеций.
5. Пример решения задачи с помощью формулы трапеций.
6. Формулы Симпсона.
7. Пример решения задачи с помощью формулы Симпсона.
8. Контрольные вопросы.
9. Список рекомендуемой литературы.
1. Предварительные соображения.
Из курса математического анализа известно, что существуют неопределённые интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях – так называемые неберущиеся интегралы. Таким, например, является интеграл . Поэтому, очевидно, в некоторых случаях невозможно вычисление определённого интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница , так как нельзя найти первообразную подынтегральной функции . В то же время существование такого интеграла обусловлено непрерывностью функции на отрезке . В таких случаях прибегают к численным методам интегрирования.
Разумеется, вычислить определённый интеграл можно, непосредственно пользуясь его определением, как предел интегральных сумм:, где - число отрезков разбиения (частичных отрезков), - некоторые точки, произвольно выбранные на каждом из отрезков, - длина одного частичного отрезка. Однако такой способ, во-первых, достаточно громоздок, во вторых, обычно даёт результаты приемлемой точности только при больших значениях .
Чаще всего формулы приближённого вычисления определённого интеграла вытекают из его геометрического смысла. Следовательно, задача о приближённом вычислении определённого интеграла заменяется другой, равносильной ей – задачей о вычислении площади криволинейной трапеции. При этом кривая заменяется другой линией, достаточно близкой к ней. В качестве этой новой линии выбирается такая кривая, для которой площадь криволинейной трапеции подсчитывается просто, то есть для которой можно легко найти первообразную. В зависимости от выбора этой кривой и различаются формулы численного интегрирования.
Предположим сначала для определённости, что для всех . Разобьём отрезок на равных частей точками . Длина каждого отрезка равна . Через точки деления проведём вертикальные прямые, которые пересекут линию в точках .
2. Формулы прямоугольников.
Заменим кривую ломаной, расположенной выше её (рисунок). Тогда определённый интеграл будет приблизительно равен площади ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников:
.
Здесь - значения подынтегральной функции в правых концах отрезков разбиения.
Если же кривую заменить ломаной, расположенной ниже её, то получится формула:
.
Здесь - значения подынтегральной функции в левых концах отрезков разбиения. Формулы (1) и (2) называют формулами прямоугольников.
Оценка погрешности данного метода приближённого вычисления определённого интеграла находится по формуле:
(3),
где - наибольшее значение первой производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.
Пример 1. Вычислить по одной (на выбор) из формул прямоугольников интеграл , разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Оценить ошибку вычислений и сравнить полученное значение с точным значением, вычисленным с помощью микрокалькулятора (1,718281).
Решение.
Вычислим значения подынтегральной функции в точках деления и соответствующие значения занесём в таблицу:
х | 0,0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 |
у | 1,0 | 1,10517 | 1,2214 | 1,34986 | 1,49282 | 1,64872 | 1,82212 | 2,01375 | 2,22554 | 2,45960 | 2,71828 |
Воспользуемся формулой (1):
.
Оценим ошибку вычисления. Имеем: . Подставляя в формулу (3), получаем . Действительно, сравнивая полученное значение с точным значением, получаем . Это весьма значительная ошибка.
Замечание. Во многих случаях формулы (1) и (2) дают приближённые значения определённого интеграла одна – с избытком, а вторая – с недостатком. Поэтому более точное значение можно получить, найдя среднее арифметическое результатов применения обеих формул.
3. Формула трапеций.
Соединив отрезками каждые две соседние точки , полученные способом, указанном в конце предыдущего пункта, заменим кривую ломаной . Она сверху ограничивает фигуру, составленную из прямоугольных трапеций, каждая из которых опирается на один из частичных отрезков разбиения. Площадь элементарной криволинейной трапеции с основанием заменим площадью прямоугольной трапеции, ограниченной сверху отрезком . Тогда искомая площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией , будет приближённо равна сумме площадей данных прямоугольных трапеций. Площадь каждой такой трапеции легко подсчитать, используя хорошо известную из школьного курса геометрии формулу: . Сумма таких площадей равна:
.
После очевидных преобразований получим: . Таким образом, имеем следующую приближённую формулу вычисления определённого интеграла:
.
Формула (4) носит название формулы трапеций. Ошибку для метода трапеций можно оценить по формуле:
,
где - наибольшее значение второй производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.
Пример 2. В условиях примера 1 использовать формулу трапеций. Оценить ошибку вычисления; сравнить полученное приближённое значение с точным.
Решение.
Воспользуемся таблицей значений, которую мы применяли в предыдущем примере.
х | 0,0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 |
у | 1,0 | 1,10517 | 1,2214 | 1,34986 | 1,49282 | 1,64872 | 1,82212 | 2,01375 | 2,22554 | 2,45960 | 2,71828 |
Сразу по формуле (4) получаем:
.
Оценим ошибку вычисления. Имеем . Подставляя в формулу (5), получаем: . Действительно, сравнивая полученное значение с точным, получаем .
Заметим, что данный способ дал нам гораздо более точное приближение, чем используемый в предыдущем примере.
4. Формула Симпсона.
Для случаев, когда количество точек разбиения чётно, то есть , удобно использовать так называемую формулу Симпсона (параболических трапеций).
Примем её без вывода:
.
Напомним, что здесь .
Оценка ошибки при вычислении определённого интеграла методом Симпсона:
,
где - наибольшее значение производной четвёртого порядка подынтегральной функции на отрезке интегрирования.
Пример 3. В условиях примеров 1 и 2 найти приближённое значение методом Симпсона. Оценить ошибку; сравнить полученное значение с точным.
Решение.
Воспользуемся таблицей значений, которую мы применяли в предыдущих примерах.
х | 0,0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 |
у | 1,0 | 1,10517 | 1,2214 | 1,34986 | 1,49282 | 1,64872 | 1,82212 | 2,01375 | 2,22554 | 2,45960 | 2,71828 |
Подставим соответствующие значения в формулу (7):
(здесь )
При расчёте по данной формуле получили все 5 верных цифр после запятой. Таким образом, в одинаковых начальных условиях метод Симпсона даёт наибольшую точность приближённых вычислений определённого интеграла.
Задание.
Найти приближённые значения следующих определённых интегралов. Оценить ошибку вычисления и сравнить с точным значением. Вычисления вести с пятью знаками после запятой.
1) использовать метод прямоугольников; применить обе формулы (1) и (2), найти среднее арифметическое полученных результатов.
2) - методом трапеций.
3) - методом Симпсона.
4) - методом трапеций и методом Симпсона.
Контрольные вопросы:
1. Чем объясняется название формулы трапеций?
2. В чём выражаются преимущества формулы Симпсона перед формулой трапеций?
3. Каким образом при использовании формулы Симпсона можно рассчитывать требуемое число отрезков разбиения для достижения заданной точности ε?
Список рекомендуемой литературы:
Исаков В.Н. Элементы численных методов, стр 108-121
Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad, стр 94-100, 305-308