Метод прямоугольников

Цель: вспомнить аналитический метод и познакомиться с численным методом интегрирования и практическим применением приближённого вычисления определённых интегралов

Лекция к занятию №22 по теме: Численное интегрирование

План:

1. Постановка задачи.

2. Численные методы интегрирования.

3. Метод прямоугольников.

4. Метод средних прямоугольников.

5. Пример решения задачи.

6. Контрольные вопросы.

7. Список рекомендуемой литературы.

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида

, (1),

где f(x) — подынтегральная функция, непрерывная на отрезке [а; b].

Пусть задана подынтегральная функция f(х), необходимо найти определенный интеграл, который вычисляется по форму­ле Ньютона — Лейбница

= F(b)-F(a). (2)

Если же интеграл от данной функции не может быть вычислен по формуле (2), или если функция f(х) задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления инте­грала (2) существует много численных методов, таких как:

• метод прямоугольников;

• трапеций;

• Симпсона и др.

При вычислении интеграла следует помнить, каков геомет­рический смысл определенного интеграла.

*

Если f(x) ≥ 0 на отрезке [а; b], то численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), от­резком оси абсцисс, прямой х= а и прямой х= b(рис. 1). Та­ким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.

Рис. 1. Геометрический смысл интеграла

Разделим отрезок [а; b]на п равных частей, т. е. на п эле­ментарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка .

Точками деления будут: х₀ = а; х₁ = а + h; х₂ = a + 2h, ..., ; х_n-1 = a + (n-1)h; х_n = b. Эти числа будем называть узлами. Вы­числим значения функции f(x) в узлах, обозначим их у₀, у₁, у₂, ..., у_n. Стало быть, y₀=f(a), у₁ =f(x₁), у₂=f(x₂),..., y_n=f(b). Числа у₀, у₁, у₂, ..., у_n являются ординатами точек графи­ка функции, соответствующих абсциссам х₀, х₁, х₂, ..., х_n (рис. 2).

Рис. 2. Методы левых (а) и правых (б) прямоугольников

Из рис. 2. видно, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составлен­ного из п прямоугольников. Таким образом, вычисление опреде­ленного интеграла сводится к нахождению суммы n элементар­ных прямоугольников

(3)

Формула (3) называется формулой левых прямоугольни­ков, (4) — правых прямоугольников, (5) — формулой сред­них прямоугольников (рис. 3).

(5)

Рис. 3. Метод средних прямоугольников

Алгоритм вычисления интеграла по формуле левых прямо­угольников показан на рис. 4.

Рис. 4. Схема алгоритма вычисления интеграла

Пример С помощью метода левых и правых прямо­угольников вычислить определенный интеграл

полагая n=4.