Доверительный интервал для дисперсии и среднего квадратического отклонения нормального распределения.

Пусть случайная величина x распределена по нормальному закону, для которого дисперсия Dx неизвестна. Делается выборка объема n. Определяется исправленная выборочная дисперсия s². Из теории известно, что границами доверительного интервала дисперсии являются

θ₁ = , θ₂ = , где c₁² и c₂² определяются по таблице распределения c² с (n – 1) степенями свободы как решения уравнений

P(c² ≥ c₁²) = и P(c² ≥ c₂²) = .

Отсюда легко получить формулу, по которой находится доверительный интервал для стандартного отклонения σx:

P(< σ_x < ) = .

Задача 3. Будем считать, что шум в кабинах вертолетов одного и того же типа при работающих в определенном режиме двигателях — случайная величина, распределенная по нормальному закону. Случайным образом выбрано 20 вертолетов, и произведены замеры уровня шума в каждом из них. Исправленная выборочная дисперсия измерений оказалась равной 22,5 децибела. Найти доверительный интервал, накрывающий неизвестное стандартное отклонение величины шума в кабинах вертолетов с надежностью 98%.

Решение. По числу степеней свободы, равному 19, и по вероятности (1 – 0,98)/2 =0,01 находим из таблицы распределения c²величину c₂² = 36,2. Аналогичным образом при вероятности (1 + 0,98)/2 = 0,99 получаем c₁² = 7,63. Выпишем искомый доверительный интервал: (3,4; 7,5).