Прогнозирование с учетом дисконтирования информации

Рассмотренные выше методы прогнозирования на основе временных рядов были основаны на равнозначной оценке исходной информации, независимо от того отражала эта информация последние или прошлые тенденции развития социально-экономических явлений и процессов.

Для получения достоверных прогнозов существенно: какая, по времени отражения прогнозируемых явлений, информация используется для получения прогноза. Практика показывает, что для точных и надежных прогнозных оценок наиболее ценной является информация последних уровней.

Следовательно и оценивать исходную информацию необходимо по-разному: наиболее позднюю (последнюю) информацию необходимо оценивать выше, чем информацию, характеризующую тенденцию явления в прошлом. Такая оценка информации может быть произведена путем взвешивания или дисконтирования.

Принцип дисконтирования предполагает, что для построения точных и надежных прогнозов более поздняя информация имеет больший удельный вес по степени информативности, чем более ранняя информация.

На принципе дисконтирования информации разработаны следующие методы статистического прогнозирования:

· метод простого экспоненциального сглаживания;

· метод гармонических весов.

Данные методы могут быть использованы при прогнозировании социально-экономических явлений и процессов только при условии выполнения следующих предпосылок их реализации:

· исходные временного ряды должны быть достаточно длинными с тем, чтобы более четко проявилась тенденция изменения социально-экономических явлений;

· в уровнях исходных временных рядов должны отсутствовать скачки в развитии явления;

· должен соблюдаться принцип инерционности, то есть тенденции и закономерности прошлого и настоящего могут продлеваться на будущее и для получения значительных изменений в основных характеристиках социально-экономических явлений необходимо, чтобы существовал значительный период упреждения.

Метод простого экспоненциального сглаживания заключается в том, что уровни исходного временного ряда взвешиваются с помощью скользящей средней, веса которой подчиняются экспоненциальному закону распределения.

Данная скользящая средняя получила название экспоненциальной средней (S_t(y)) и позволяет проследить закономерности изменения явления в динамике по наиболее существенным, последним уровням.

Особенность метода заключается в том, что при расчете теоретических значений полученных по модели тренда, учитываются только значения предыдущих уровней временного ряда, взятых с определенным весом.

Общая формула расчета экспоненциальной средней имеет вид:

S_t(y) = a × y_t + (1- a) × S_t-1(y),(3.18)

где:

S_t(y)– значение экспоненциальной средней временного ряда для момента t;

S_t-1(y) – значение экспоненциальной средней для момента(t-1);

y_t – значение последнего уровня исходного ряда динамики (для перспективного прогнозирования) или значение уровня временного ряда социально-экономического явления в момент t;

a – параметр сглаживания (вес t-го значения уровня временного ряда).

Из формулы (3.18) видно, что при вычислении экспоненциальной средней S_t(y) используется значение только предыдущей экспоненциальной средней S_t-1(y) и значение последнего уровня временного ряда, а все предыдущие уровни ряда опускаются.

Одной из проблем практической реализации метода простого экспоненциального сглаживания является определение значения параметра сглаживания a.

От значения параметра a зависят веса предшествующих уровней временного ряда и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживаемый уровень, а следовательно и значения прогнозных оценок. Чем больше значение параметра сглаживания a, тем меньше влияние на прогнозные оценки предшествующих уровней и тем следовательно меньше сглаживающее влияние экспоненциальной средней.

Если a стремится к 1 – это означает, что при прогнозе в основном учитывается влияние только последних уровней временного ряда.

Если a стремится к 0 – это означает, что при прогнозе учитываются прошлые уровни временного ряда.

Автор метода простого экспоненциального сглаживания Р.Г. Браун предложил следующую формулу расчета a:

, (3.19)

где:

n– число уровней временного ряда, вошедших в интервал сглаживания.

Пределы изменения a установлены эмпирическим путем и изменяются: 0,1 £ a £ 0,3.

Однако, следует учитывать, что в этом случае параметр a полностью зависит от числа наблюдений n.

Часто на практике при решении конкретных задач параметр a применяется равным: a = 0,1; 0,15; 0,2; 0,25; 0,3.

Параметр сглаживания a может быть также определен на основе метода перебора различных его значений. При этом, в качестве оптимального значения a выбирается то значение a, при котором получена наименьшая средняя квадратическая ошибка прогноза, рассчитанная по данным всего сглаживаемого временного ряда или по данным части временного ряда, специально оставленной для проверки качества прогнозной модели, то есть путем построения ретроспективного прогноза, сущность которого заключается в том, что весь исходный ряд динамики разбивается на две части в соотношении 2/3 к 1/3.

Для различных значений a строится модель прогноза по первой части ряда (2/3) и по ней осуществляется прогноз на вторую (1/3 от исходной) часть ряда, по которой определяются отклонения прогнозных значений ( ) временного ряда от эмпирических значений уровней (y_t) и определяется средняя квадратическая ошибка этих отклонений по формуле:

, (3.20)

Наиболее оптимальным считается тот параметр сглаживания a, которому соответствует наименьшее значение средней квадратической ошибки.

Прежде чем приступать к определению экспоненциальных средних, необходимо, кроме парaметра a определить S_t-1(y), то есть возникает проблема определения начальных условий.

Таким образом прогнозирование методом простого экспоненциального сглаживания может быть реализовано в двух возможных вариантах:

— начальные условия (у₀) известны.

— начальные условия не известны.

В случае если начальные условия известны также возможны два случая реализации этого варианта:

В качестве начального условия у₀ может быть использована средняя арифметическая, определенная по всем значениям уровней исходного временного ряда по формуле вида:

. (3.21)

Использование средней арифметической в качестве начального условия возможно только в том случае, когда известны данные о развитии изучаемого социально-экономического явления в прошлом.

В качестве начального условия у₀ возможно использование значения первого уровня исходного временного ряда – у₁. При этом вес данного уровня будет уменьшаться по мере скольжения по уровням исходного временного ряда от уровня к уровню, а следовательно будет уменьшаться влияние каждого следующего уровня на величину экспоненциальной средней.

В случае если начальные условия не известны, то они могут быть определены по формулам, разработанным Р.Г. Брауном.

При этом возможны различные модификации их расчета в зависимости от того, какая модель тренда наилучшим образом описывает реально существующую тенденцию развития изучаемого социально-экономического явления.

Так, если тенденция исходного временного ряда описывается уравнением линейного тренда вида:

,

то прогнозирование методом простого экспоненциального сглаживания осуществляется в следующей последовательности:

· Определяются параметры линейного тренда а₀ и а₁, описывающего тенденцию исходного временного ряда:

.

Параметры а₀ и а₁ определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

n a₀ + a₁ åt = åy (3.22)

a₀ åt + a₁åt² = åyt

· Определяются начальные условия первого и второго порядков (порядок начальных условий определяется числом параметров уравнения тренда: линейного тренда – а₀ и а₁) по формулам вида:

— начальное условие первого порядка:

, (3.23)

— начальное условие второго порядка:

, (3.24)

где:

а₀ и а₁ – параметры уравнения тренда (2.22), полученные методом наименьших квадратов.

· Рассчитываются экспоненциальные средние первого и второго порядка:

— экспоненциальная средняя первого порядка:

, (3.25)

где:

у_t–значение последнего фактического уровня исходного временного ряда;

— экспоненциальная средняя второго порядка:

, (3.26)

Прогноз строится по модели вида:

,

где оценки коэффициентов модели определяются по следующим формулам:

;

, (3.27)

· Ошибка прогноза определяется по следующей формуле:

(3.28)

где:

– средняя квадратическая ошибка, рассчитанная по отклонениям эмпирических значений признака от теоретических, полученных по уравнению тренда, то есть по следующей формуле:

, (3.29)

где:

k – число степеней свободы, определяемое в зависимости от длины исходного временного ряда (n) и числа параметров уравнения тренда.

Пример.Построим прогноз объема платных услуг населению методом простого экспоненциального сглаживания, предположив, что тенденция изменения данного показателя наилучшим образом описывается уравнением линейного тренда следующего вида:

â =

â = = 0,54.

Таким образом модель прогноза объема платных услуг населению методом простого экспоненциального сглаживания имеет вид:

ŷ â₀ + â₁t = 28,34 + 0,54t.

Если временной ряд описывается параболой второго порядка:

,

параметры которой определяются путем решения следующей системы нормальных уравнений:

,

то основные показатели экспоненциального сглаживания рассчитываются по следующим формулам.

Начальные условия:

– первого порядка

(3.30)

– второго порядка

– третьего порядка

Экспоненциальные средние:

– первого порядка

, (3.31)

– второго порядка ;

– третьего порядка

Модель прогноза:

(3.32)

Оценка параметров модели прогноза:

(3.33)

Ошибка прогноза определяется по формуле:

,

где: = , (3.34)

Пример.Построим прогноз объема платных услуг населению (таблица 2.10) методом простого экспоненциального сглаживания, предположив,что тенденция изменения данного показателя наилучшим образом описывается уравнением параболы второго порядка следующего вида:

Таким образом модель прогноза объема платных услуг населению одного из регионов РФ методом простого экспоненциального сглаживания имеет вид:

ŷ 29,08 + 0,69t + 0,059t²_.

Метод гармонических весовбыл разработан польским статистиком З. Хелвингом, близок к методу простого экспоненциального сглаживания и использует тот же принцип.

В его основе лежит взвешивание скользящего показателя, но вместо скользящей средней используется идея скользящего тренда. Экстраполяция проводится по скользящему тренду, отдельные точки ломаной линии взвешиваются с помощью гармонических весов, что позволяет более поздним наблюдениям придавать большой вес.

Метод гармонических весов базируется на следующих предпосылках:

· Период времени, за который изучается экономический процесс, должен быть достаточно длительным, чтобы можно было определить его закономерности.

· Исходный ряд динамики не должен иметь скачкообразных изменений.

· Прогнозируемое социально-экономическое явление должно обладать инерционностью, то есть для наступления большого изменения в характеристиках процесса необходимо, чтобы прошло значительное время.

· Отклонения от скользящего тренда (e_t) должны иметь случайный характер.

· Автокорреляционная функция, рассчитанная на основе последовательных разностей, должна уменьшаться с увеличением уровней временного ряда, то есть влияние более поздней информации должно отражаться на прогнозируемой величине сильнее, чем ранней информации.

Для получения точного прогноза по методу гармонических весов необходимо выполнение всех вышеуказанных предпосылок для исходного ряда динамики.

Для осуществления прогноза данным методом исходный временной ряд разбивается на фазы (к). Число фаз должно быть меньше числа членов ряда (n), то есть к < n. Обычно фаза равна 3-5 уровням.

Для каждой фазы рассчитывается линейный тренд, то есть:

(t) = a_i + b_it,(i = 1, 2, …, n – k + 1); (3.35)

при этом для i = 1, t = 1, 2, 3, … , k;

для i = 2, t = 2, 3, … , k + 1;

для i = n-k+1 t= n – k + 1, n – k + 2, … , n.

Для оценки параметров используется способ наименьших квадратов.

С помощью полученных (n – k + 1) уравнений определяются значения скользящего тренда.

Определяется среднее значение по формуле:

, (3.36)

После этого необходимо проверить гипотезу о том, что отклонения от скользящего тренда представляют собой стационарный процесс. С этой целью рассчитывается автокорреляционная функция. Если значения автокорреляционной функции уменьшаются от периода к периоду, то пятая предпосылка данного метода выполняется.

Далее рассчитываем приросты по формуле:

. (3.37)

Средняя приростов вычисляется по формуле:

. (3.38)

где:

– гармонические коэффициенты, удовлетворяющие следующим условиям:

> 0; (t = 1, 2, … , n – 1), (3.39)

.

Данное выражение позволяет более поздней информации придавать большие веса, так как приросты весов обратно пропорциональны времени, которое отделяет раннюю информацию от поздней для момента t = n.

Если самая ранняя информация имеет вес , то вес информации, относящейся к следующему моменту времени, равен:

, (3.40)

В общем виде ряд гармонических весов определяют по формуле:

, (t = 2, 3, … , n – 1), (3.41)

или

.

Отсюда .

Для того чтобы получить гармонические коэффициенты , нужно гармонические веса m_t+1 разделить на (n – 1), то есть:

. (3.42)

Далее прогнозирование сводится, так же как и при простейших методах прогноза, путем прибавления к последнему значению ряда динамики среднего прироста, то есть:

.