Метод аналитического выравнивания рядов динамики.

Пример.

Пример.

Данные о реализации молочной продукции в магазинах города по месяцам представлены таблицей (в тоннах)

Таблица 42

Исходные уровни ряда динамики подвержены сезонным изменениям; для определения общей тенденции развития переходят от ежемесячных уровней к годовым уровням:

1987г. - 96,7 тонн

1988г. - 98,4 тонн

1989г. - 101 тонна

Эти цифры, полученные в результате перехода к годовым уровням ряда динамики, показывают общую тенденцию роста реализации молочной продукции.

Или другой пример - ряд суточного выпуска продукции заменить рядом ежемесячного выпуска продукции. Таким образом, сглаживаются суточные колебания выпуска.

Другой способ определения тенденции в ряду динамики —метод скользящих средних. Сглаживание методом простой скользящей средней, заключается в том, что вычисляется средний уровень из трех, пяти, семи и т.д. уровней. Таким образом, вместо каждого уровня ряда берутся средние из окружающих его уровней с обеих сторон. В этой средней сглаживаются случайные отклонения. Она будет скользящей, поскольку период осреднения все время меняется. Из него вычитается один предыдущий и прибавляется один следующий. Например, скользящая средняя из 3-х уровней будет , и т.д. Средняя скользящая относится в этом случае ко 2-му, 3-му, 4-му и т.д. периоду. Если скользящая средняя находится по четному число членов, то для отнесения ее к конкретному периоду необходимо произвести центрирование, т.е. найти среднюю из двух смежных скользящих средних. Недостаток метода простой скользящей средней в том, что сглаженный ряд динамики сокращается (укорачивается) для начала и конца.

Таким образом, фактические уровни ряда заменяются средними уровнями, вычисленными по определённому правилу. Возьмем другой пример – скользящее сглаживание на интервале не 3, как в предыдущем примере а 5.

Пусть — исходные или фактические уровни ряда динамики. Заменим их средними уровнями:

...

...

...

В результате получается сглаженный ряд, состоящий из скользящих пятизвенных средних уровней . Между расположением уровней и устанавливается соответствие:

— — — — ,

сглаженный ряд короче исходного на число уровней , где k - число уровней, выбранных для определения средних уровней ряда или период сглаживания. Таким образом информация о крайних членах рядя теряется.

Сглаживание методом скользящих средних можно производить по четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней. Чем больше период сглаживания, тем отчетливее просматривается тенденция, однако и больше потерь информации о крайних членах. Поэтому приходится чаще всего ограничиваться тремя – пятью периодами сглаживания, не больше.

Полученные путем сглаживания средние уровни называются трехзвенными, четырёхзвенными, пятизвенными скользящими средними и т.д.

При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется, как уже было сказано, дополнительная операция, называемая центрированием, поскольку, при вычислении скользящего среднего, например по четырём уровням, относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровни и . Схема вычислений и расположений уровней сглаженного ряда становится сложнее:

... — исходные уровни;

— — ... — сглаженные уровни;

— — ... — центрированные сглаженные уровни;

.

Метод скользящих средних не позволяет получить численные оценки для выражения основной тенденции в ряду динамики, давая лишь наглядное графическое представление.

Таблица 43.

На рис. 17 показан график, построенный по данным о валовом сборе зерна в регионе за ряд лет наблюдения и по расчетным данным, представленным в таблице 43.

Рис. 17. Валовой сбор зерна в регионе

Наиболее совершенным способом определения тенденции развития в ряду динамики является метод аналитического выравнивания. Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени: y=f(t).

При этом методе исходные (фактические) уровни ряда динамики заменяются теоретическими или расчетными , которые представляют из себя некоторую достаточно простую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики.

В практике экономических исследований применяется аналитическое выравнивание по любому рациональному многочлену.

Правильно установить тип кривой, тип аналитической зависимости от времени - является одной из трудных задач статистики. К этому следует подходить с большой осторожностью. Аналитическое выравнивание состоит в подборе для данного ряда динамики теоретической кривой, наилучшим образом описывающей эмпирические данные. Это могут быть различные функции: полиномы степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды.

Полиномы имеют следующий вид:

полином первой степени (прямая);

полином второй степени (парабола 2-го порядка);

полином n-ой степени .

Наиболее приближенный и простой способ определения формы теоретической кривой – графический.

После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Рассмотрим простейший способ выравнивания с помощью прямой, например,

,

где - коэффициенты, определяемые в методе аналитического выравнивания;

- моменты времени, для которых были получены исходные и соответствующие теоретические уровни ряда динамики, образующие прямую, определяемую коэффициентами .

Расчет коэффициентов ведется на основе метода наименьших квадратов – следует добиться, чтобы суммарное отклонение всех теоретических точек, рассчитанных по уравнению от фактических (экспериментальных) значений было наименьшим:

Если, вместо подставим (или соответствующее выражение для других математических функций), получим:

Это функция двух переменных (все и известны), которая при определенных достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций двух переменных, получают значения коэффициентов .

Для прямой:

где n — число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда .

Если вместо абсолютного времени выбрать условное время таким образом, чтобы , то записанные выражения для определения упрощаются: