Правило Рунге
Схема Эйткина
Двойной пересчет
Выбор шага интегрирования по эмпирическим схемам
В связи с тем, что вычисления максимального значения по абсолютной величине k-ой производной приводят к громоздкости расчетов, на практике прибегают к искусственным приемам достижения заданной точности. А именно, определенный интеграл вычисляют по какой-либо квадратурной формуле дважды с шагом h и h/2, что удваивает число n.
Определяют:
если | In – I2n | < e , то I = I2n ;
если | In – I2n | > e , то берут шаг h/4; (25)
если | I2n – I4n | < e , то I = I4n .
В качестве начального шага h можно рекомендовать h = 
, где m=2 для формул среднего и трапеций, m=4 – для Симпсона.
На практике для повышения точности численного интегрирования широко используется схема Эйткина. Рассмотрим ее смысл.
Расчет проводиться три раза с h1, h2, h3, при этом соотношение между ними 
. Получают три значения I1, I2, I3.
Производится уточнение по эмпирической формуле:
. (26)
Порядок точности r =
.
Это наиболее популярное практическое правило, разработанное в предположении, что f(x) Î C4[a, b] для квадратурных формул прямоугольников и трапеций, f(x) Î C6[a, b] – для формулы Симпсона. В этом случае можно показать, что погрешности R(h, f) имеют следующие представления при h ® 0:
; (27)
;
.
Суть его также состоит в том, чтобы, организовав вычисления двух значений интеграла по двум семействам узлов, сравнивают результаты вычислений с оценкой погрешности. Объединив (27) можно получить рабочую формулу:
;(28)
где k = 2, m = 2 – для прямоугольников и трапеций;
k = 4, m = 2 – для формулы Симпсона.