Формула Симпсона
Формула трапеций
Рассмотрим интервал [0, h], h > 0
Предположим, что f(x) Î C2[0, h]. Соотношение (7) запишем в виде:
, (12)
где взяты два узла x0 = 0, x1 = h и соответствующие веса q0 = q1 = h/2.
Получаемая квадратурная формула
, (13)
называется формулой трапеций для одного шага. Название связано с тем, что (13) при положительных значениях f(0), f(h) является площадью трапеции с основаниями f(0), f(h) и высотой h.
Доказано, что погрешность для (12)
(14)
где x – некоторая точка интервала [0, h]. Заметим, что (13) так же, как формула прямоугольников точна для полиномов первой степени.
Рассмотрим интервал [–h, h], h > 0. Предположим, что f(x) Î C4[–h, h].
Для соотношения (7) возьмем три узла x0 = xi–1 = –h, x1 = xi=0, x2 = xi+1=h. Соответствующие им весовые коэффициенты получим из аппроксимации f(x) параболой, построенной на точках (–h, f(–h)), (0, f(0)), (h, f(h)) в виде квадратного многочлена y = ax2 + bx + c. Для получения коэффициентов a, b и c построим многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через выбранные точки:
.
Вычисляем интеграл:
(16)
Тогда соотношение (7) запишется в виде:
(17)
и называется формулой Симпсона (парабол).
Доказано, что погрешность для формулы Симпсона оценивается соотношением:
, (18)
где xÎ [–h, h].
Из соотношения (18) следует, что квадратурная формула Симпсона точна для полиномов третьей степени.
Отметим, что при применении простейших квадратурных формул требуются вычисления значения подынтегральных функций f(x):
а) в одной точке – для формулы прямоугольников;
б) в двух точках – для формулы трапеций;
в) в трех точках – для формулы Симпсона.
Однако, несмотря на малый объем вычислений, область практических применений простейших квадратурных формул ограничена лишь малыми интервалами, поскольку при увеличении h погрешность становится значительной, как видно из формул для погрешностей, что и выдвигает необходимость использования т.н. составных квадратурных формул.