Понятие численного интегрирования

Постановка задачи

Раздел 6. Численное интегрирование

Во многих научных и технических задачах интегрирование функций является важной составной частью математического моделирования площадей и объемов, значений работы, произведенной некоторыми силами и многие другие технические задачи. Напомним, что геометрический смысл простейшего определенного интеграла

, (1)

от f(x) ³ 0, как известно, состоит в том, что значение величины I – это площадь, ограниченная кривой y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b

Рис. 6.1

Во многих случаях, когда функция f(x) в (1) задана в аналитическом виде, определенный интеграл вычисляется непосредственно с помощью неопределенного интеграла (посредством первообразной) по формуле Ньютона-Лейбница:

. (2)

Однако формулой (2) на практике можно воспользоваться не всегда, а именно:

– когда вид f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразная F(x) не выражается в элементарных функциях;

– если значения f(x) заданы в табличной форме.

Универсальным подходом для решения поставленной задачи является использование методов численного интегрирования, основанных на аппроксимации подынтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов различных степеней.

Следует подчеркнуть, что основная идея численного интегрирования заложена уже в определении известного интеграла Римана от f(x), формально записанного в виде (1). Напомним суть этого определения.

Пусть вещественная функция f(x) определена и ограничена на интервале [a, b]. Разобьем его на n произвольных частичных интервалов [x_i, x_i+1], 0£i£n–1, x₀ = a, x_n = b.

Выберем в каждом частичном интервале произвольную точку x, x_i£x£x_i+1 и составим, так называемую, интегральную сумму (рис. 6.1).

. (3)

Если предел S при стремлении длины наибольшего частичного интервала к нулю существует для произвольных x_i, то его называют интегралом Римана от f(x):

. (4)

Тогда сумма (3) и дает простейший пример численного интегрирования. А ее верхняя S₂ и нижняя S₁ суммы определяют величину погрешности S, а именно:

(5)

Существующие на практике формулы численного интегрирования, по существу, отличаются от (3) только явным указанием способов:

1) выбора x_i, x_i;

2) ускорения сходимости в (4);

3) оценки погрешности посредством дополнительной информации о поведении f(x) (например, что f(x) Î C²[a,b]).

В качестве рабочего инструмента численного интегрирования вводится понятие квадратурной формулы для (1). Для этого обобщим понятие интегральной суммы (3). Точки x_i (рис. 6.1), в которых вычисляются значения f(x) называются узлами, а коэффициенты (x_i+1 – x_i) в (3) заменяют некоторыми числами q_i, не зависящими от f(x), называемыми весами. Формула (3) заменяется следующей:

, (6)

где a £ x_i £ b.

Очевидно, что интеграл (1) согласно (5) следует записать в виде:

. (7)

Формула (7) и называется квадратурной формулой, а R в (7) – погрешностью квадратурной формулы. При наличии альтернативы при выборе численных методов интегрирования следует заметить, что каждая конкретная квадратурная формула считается заданной, если указано, как выбирать x_i, соответствующие веса q_i, а также методика оценки погрешности R для определенных классов функций.