Метод секущих
Метод Ньютона (касательных)
Данный метод является модификацией метода простой итерации. Если функция f(x) непрерывна и дифференцируема, то выбрав в (6) 
получим эквивалентное уравнение в виде x = x – f(x)/f '(x) = j(x), f '(x) ¹ 0.
Подбором y(x) добиваются, чтобы в (7) q = j'(x*) º 0, что обеспечивает большую скорость сходимости в рекуррентном соотношении метода в близи искомого корня
, n = 1,2,… (8)
Это также одношаговый метод.
Геометрическая интерпретация метода представлена на рисунке.
Проблематичным является выбор x0 в виду узости области сходимости вычисления производной. Часто при неудачном выборе x0 нет монотонного убывания последовательности |f(xn)|, поэтому рекомендуется вычисления проверить по модифицированной схеме
n = 0,1,2,…
Здесь сомножители an Î [0,1] выбирают так, чтобы выполнялось неравенство
| f(xn+1)| < | f(xn)| .
При выборе начального приближения х0 предпочтительней использовать заведомо сходящийся метод, например, метод деления отрезка пополам.
Этот метод является модификацией метода Ньютона в плане его реализации, т.е. задача поиска корня связана лишь с вычислением значения функции f(x). Заменив производную f '(xn) в методе Ньютона так называемой разделенной разностью по двум точкам xn и xn + hn, где hn – некоторый малый параметр, получим итерационную формулу
, n = 0,1,2,… , (9)
которая называется методом секущих.
Приближение xn+1 является абсциссой точки пересечения секущей прямой, проведенной через точки (xn, f(xn)) и (xn+hn , f(xn + hn)) с осью х.
Метод также одношаговый и при удачном подборе параметра h его сходимость, как и у метода Ньютона при упрощении его реализации.
Имеются другие интерпретации формулы (9). В частности, метод Вегстейна,в котором для выбора параметра h используют предыдущую расчетную точку, т.е. берут hn= xn–1 – xn, тогда (9) имеет вид:
, n = 0,1,2,… (10)
Метод Вегстейна, очевидно, двухшаговый (m = 2), т.е. для вычисления требуется задать 2 начальные точки приближения, лучше всего x0 = а; x1 = b. Он медленнее метода секущих, однако, требует в 2 раза меньше вычислений f(x) и поэтому оказывается более эффективным.
Целесообразным является использовать подходы к уточнению корня не выпускающие корень из выделенной «вилки», (отрезка [a, b]).
Так, если f(b)×f "(x) > 0 для x Î [a,b], берут в качестве x0 = a и уточнение корня производится по формуле
, n=0,1,2,…, (11)
а если f(a)×f "(x) > 0 для x Î [a,b], берут в качестве x0 = b и уточнение корня производится по формуле
, n=0,1,2,… (12)