Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы

Точность получения элементов обратной матрицы естественно оценивается соотношением

А^–1×А = А⁰ = Е.

Однако в общем случае элементы обратной матрицы получаются с некоторой погрешностью, которая появляется в результате округлений в процессе вычисления и большого числа арифметических операций. Для уменьшения погрешностей используется итерационная схема уточнения элементов обратной матрицы.

Пусть для неособенной матрицы А получено приближенное значение элементов матрицы А^–1. Обозначим ее через D₀ » A^–1. Тогда для уточнения элементов обратной матрицы строится следующий итерационный процесс:

F_k–1 = E–AD_k–1 , k =1,2,3… ; (*)

D_k = D_k–1(E + F_k–1); k = 1,2,3… (**)

Доказано, что итерации сходятся, если начальная матрица D₀ достаточно близка к искомой А^–1.

В данной итерационной схеме матрица F на каждом шаге как бы оценивает близость матрицы D к А^–1.

Схема работает следующим образом.

Сначала по (*) при k = 1 находится F₀ = E–AD₀, затем находится произведение D₀F₀.

По итерации (**) при k = 1 находится D₁= D₀ + D₀F₀.

Чтобы проверить, достигнута ли желаемая точность, вычисляется AD₁, а по (*) при k = 2, вычисляется F₁ = E – AD₁ и, если наибольший элемент матрицы F₁ < e, итерации прекращаются и A^–1 » D₁.