Статистическая идентификация одномерных детерминированных ТОУ

Задача состоит в определении аналитической зависимости у (t) = f [x(t)]между входом x и выходом yодномерного объекта. Полагаем, что при проведении экспериментальных исследованиях случайные помехи отсутствуют, а в экспериментальных данных нет разброса.

Исследование статических характеристик позволяет оценить чувствительность ТОУ ко входным параметрам, выявить управляющие воздействия и определить допустимые значения возмущений, действующих на ТОУ, и которые могут быть компенсированы выбранными управляющими воздействиями.

Для экспериментального определения статических зависимостей у=f(x)применяют активныйи пассивныйметоды исследования.

Активный метод изучения статики предполагает целенаправленное изменение входных параметров по определённой схеме с регистрацией выходной переменной. При проведении активного эксперимента используют момент включения – выключения установок, выключения регуляторов, а также подачу тестовых сигналов:

- возмущение в виде кратковременного импульса; -единичный скачок 10-20 % от номинального значения; - периодическое воздействие; - гармонический сигнал.

Экспериментатор устанавливает минимально возможное по технологическому регламенту значение входной координаты x(t), или x(1). После окончания переходных процессов в ТОУрегистрируется установившееся значение выходной координаты у(t),илиу(1). Затем экспериментатор даёт приращение ∆xвходной координатеx(t), получает новое её значение x(2) = x(1) + ∆x,регистрирует у(2), снова изменяет x(t)на ∆x и т.д. все остальные координаты поддерживаются постоянными. В результате серии опытов получают таблицу соответствий x(i) → y(i), i = 1,2,…,n,где n– число различных уровней входной координаты x(t).По данным таблицы строится график, который аппроксимируется кусочно – линейной зависимостью (уравнением регрессии).

Наиболее часто модель связи между входами и выходами одномерного объекта описывается полиномом вида:

, (1)

где а0, а1, …, аnкоэффициенты уравнения регрессии, подлежащие определению.

При существенном разбросе значений у(t) коэффициенты статической характеристики (1) определяют с помощью метода наименьших квадратов (МНК):

. (2)

Для определения коэффициентов модели а0, а1, а2 дляn=2составляют систему уравнений:

(3)

.

Совместное решение полученных уравнений относительно аiдаёт значения, удовлетворяющие (2).

Оптимальной считается модель, у которой при определённых расчётом коэффициентах сумма квадратов отклонений расчётных ур и экспериментальных уэ значений будет минимальной, т.е. минимизируется функционал:

, (4)

где n – число опытов.

На практике используют полином (1) первого или второго порядка. Иногда используют гиперболическую или показательную функции, , если при равных приращениях х величина у растёт примерно в геометрической прогрессии.

Активныйэксперимент применяют в тех случаях, когда уровень помех и флуктуаций входных и выходных координат невысок, а технологический регламент допускает искусственные возмущения.

Пассивныйметод исследования статических зависимостей сводится к регистрации случайных изменений входных координат x1 (t), x2 (t), …,имеющих место в нормальном режиме эксплуатации объекта, и соответствующих им флуктуаций выходной координаты у1 (t). Случайные процессыx1 (t), x2 (t), у1 (t)квантуются во времени и составляется таблица их значений x1 (i), x2 (i), у1 (i); i=1,2,…,n.Для выбора периода квантования требуется знание автокорреляционных функций Rxx(τ)каждой из координат x1 (t), x2 (t), у1 (t).Период квантования всех входных и выходных случайных процессов объекта берётся равным или большим максимальной величины времени затухания переходного процесса в наиболее инерционном канале ТОУ. Общее число наблюдений должно в 10-30 раз превышать число коэффициентов уравнения регрессии.

Следует отметить, что на данном этапе исследования экспериментатор обычно не располагает информацией о статических характеристиках возмущений и автокорреляционных функциях, что снижает достоверность статических характеристик, определяемых пассивным методом.

Далее, используя формулы корреляционного анализа или МНК, можно определить коэффициенты линейной статической зависимости:

, (5)

где:

(6)

,

q=1,2,…

Пассивный эксперимент не требует проведения специальных опытов, а может базироваться на записях в эксплуатационных журналах и показаниях регистрирующих приборов.

Пассивный метод исследования статики применяется в тех случаях, когда технологический регламент не позволяет наносить искусственные возмущения входным координатам или уровень помех и шумов высок по сравнению с величинами допустимых воздействий ∆x1, ∆x2, … .