Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема устанавливает предельную форму композиции распределений случайных величин при неограниченном увеличении числа случайных величин, входящих в композицию.

Теорема Ляпунова (Центральная предельная теорема). Пусть Х₁, Х₂, Х₃,…, Х_n – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин и пусть

Тогда, при любом ,

где F(x)=0,5+Ф(х) - функция распределения стандартной случайной величины.

Практически это означает, что при сформулированных выше условиях распределение случайно величины Z_n асимптотически приближается к стандартному нормальному распределению N(0;1²). Следовательно, для случайной величины Z_n можно приближенно использовать все формулы, которые справедливы для стандартного нормального распределения, в частности, для любых α и β:

P(α< Z_n < β)≈Ф(β)-Ф(α), причем согласно центральной предельной теореме, точность этого приближенного равенства возрастает с увеличением n.

Рассмотрим систему n испытаний Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании. В этом случае вероятность m успехов вычисляется по формуле Бернулли, прямое использование которой затруднено при больших n (n>10).

Рассмотрим приближенную формулу для вычисления вероятности того, что число успехов содержится в пределах отдо : .

Представим величину m как сумму случайных величин ξ₁+ ξ₂+…+ ξ_n (индикаторы успеха):

m= ξ₁+ ξ₂+…+ ξ_n

Учитывая, что M[m]=np, D[m]=npq, введем случайную величину

,

распределение которой, согласно центральной предельной теореме, асимптотически (при n→∞) приближается к стандартному нормальному распределению N(0;1²).

Поэтому

.

Эта формула называется интегральной теоремой Муавра-Лапласа.

Пример 3.1..2. Серия Бернулли содержит n=100 испытаний, причем вероятность появления события A в каждом испытании равна р=0,8. Найти вероятность того, что число успехов 75≤m≤90.

Решение: