Эллипсоид
Def. Эллипсоидом назывется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:
(18.2)
Исследуем форму эллипсоида по его сечениям плоскостями.
1. Очевидно, что эллипсоид пересекает оси координат в точках
Из уравнения (18.2) следует, что и т.е. эллипсоид представляет собой поверхность, заключенную в параллелепипеде Координатные плоскости являются плоскостями симметрии, координатные оси – осями симметрии, а начало координат – центром симметрии.
2. Рассмотрим сечение данного эллипсоида плоскостью Уравнение линии пересения имеет вид:
Данная линия представляет собой эллипс с полуосями и
Аналогично устанавливаем, что пересечением эллипсоида плоскостью будет эллипс
с полуосями и а плоскостью эллипс
с полуосями и
3. Рассмотрим теперь линию пересечения эллипсоида с плоскостью параллельной плоскости Уравнение этой линии имеет вид:
или
(18.3)
При уравнение (18.3) задает эллипс с полуосями и При эллипсоид и эллипс не имеет общих точек. При эллипсоид и плоскость пересекаются в одной точке (вырожденный эллипс).
Аналогично находим, что в пересечении эллипсоида с плоскостями и также получаются эллипсы.
Таким образом, эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, линиями пересечения которой с координатными плоскостями и плоскостями, параллельными им, являются эллипсы (рис. 18.1). Def. Числа называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, эллипсоид называется трехосным. Если эллипсоид превращается в сферу. | Рис. 18.1 |