Смешанное произведение векторов
Def.Смешанным произведением векторов и называется число равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов и третьего вектора, т.е.
Th.12.2 | (выражение смешанного произведения через координаты сомножителей) Если и то (12.7) |
Доказательство.
Согласно (12.6)
Согласно (11.13)
С другой стороны
Теорема доказана .
Th.12.3 | (свойства смешанного произведения векторов) 1.Смешанное произведение не меняется при перемене мест знаков векторного и скалярного произведения, т.е. (12.8) В связи с этим принято обозначение 2. При циклической перестановке векторов смешанное произведение не меняется, т.е. (12.9) 3. При перемене мест любых двух векторов-сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. (12.10) 4. Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны. 5.Смешанное произведение векторов и равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «–», если они образуют левую тройку. |
Доказательство.
Первые три свойства непосредственно следуют теоремы 12.2 и свойств определителей.
4. Смешанное произведение векторов определяется значением определителя (12.7). Согласно критерию равенства нулю определителя (теорема 7.8) это возможно тогода и только тогда, когда строки определителя линейно зависимы, т.е. векторы и линейно зависимы, а, значит, компланарны . 5. Построим параллелепипед на векторах равно площади параллелограмма , лежащего в основании параллелепипеда. Если векторы и образуют правую тройку (рис. 12.4), то равна высоте параллелепипеда Если же данные векторы образуют левую тройку (рис. 12.5), то | Рис. 12.4 Рис. 12.5 |
равна Таким образом, .
N. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах и
Решение.
Найдем по формуле (12.7).
Тогда, (куб.ед.)
Ответ. куб.ед.
Двойное векторное произведение векторов
Def.Двойным векторным произведением векторов и называется произведение
Th.12.4 | Для любых векторов и (12.11) |
Доказательство.
Покажем, что в левой и правой части (12.11) стоит один и тот же вектор. Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы а
и были компланарны (рис. 12.6). В этой системе координат и имеют следующие координаты: и Согласно (12.6) Тогда | Рис. 12.6 |
Теорема доказана .
Таким образом, формула (12.11) позволяет вычислить двойное векторное произведение значительно быстрее, чем по определению.
N. Найти , если и
Решение.
Ответ.