Свойства векторного произведения

Векторное произведение векторов

ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ И ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Def.Векторным произведением векторов и называется вектор определяемый следующим образом:

1)

2) образуют правую тройку векторов;

3) где угол между и

1. (12.1) 2. (12.2) 3. (12.3) 4. (12.4) 5. (12.5) 6. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение есть нулевой вектор. 7. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторахи

Доказательство.

1. Очевидно, что векторы и имеют одинаковые модули, коллинеарны и противоположно направлены, т.к. тройки и противоположной ориентации (рис. 12.1). Значит, .

2. Для утверждение очевидно, т.к. левая и правая часть соотношения (12.2) есть нулевой вектор.

Пусть Заметим, что Также (векторы и лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Кроме того, эти векторы имеют одинаковую длину. Действительно,

Рис. 12.1

Учитывая, угол между векторами и равен углу между векторами и то Поэтому Аналогично свойство доказывается и для .

3. Свойство 3 является непосредственным следствием свойств 1 и 2.

4. Для доказательства этого свойства воспользуемся следующей леммой.

Lemma

Пусть имеется два вектора и Обозначим проекцию вектора на плоскость , перпендикулярную вектору(рис. 12.2). Тогда

Доказательство леммы.

Векторы и имеют равные модули. Действительно, где угол между и

Рис. 12.2

Выясним направленность этих векторов. Вектор лежит в плоскости , т.к Учитывая, что можем сделать вывод, что (теорема о трех перпендикулярах). Значит, и коллинеарны. Кроме того, тройки и имеют одинаковую ориентацию. Значит, и сонаправлены. Откуда заключаем, что .

Теперь докажем свойство 4. Соотношение (12.4) справедливо при Пусть Обозначим через и проекции векторов и на плоскость, перпендикулярную вектору (рис. 12.3). Построим Тогда векторы и получаются из векторов и соответственно поворотом на угол И, следовательно,

А так как, согласно доказанной лемме,

то .

5. Свойство 5 является непосредственным следствием свойств 1 и 4.

6. Свойство 6 непосредственно вытекает из определения векторного произведения. 7. Действительно, (рис. 12.3).

Рис. 12.3

Th.12.1

(выражение векторного произведения через координаты сомножителей) Если и то (12.6)

Доказательство.

N. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах иесли где

Решение.

Упростим выражение основываясь на свойствах векторного произведения.

Вычислим , по формуле 12.6.

Значит,

Тогда

(кв. ед.)

Ответ. кв. ед.