Компакти в просторі . Критерій компактності множини
План
Вопросы
1. Когда совокупность множеств покрывает множество ?
2. Когда множество называют компактным множеством? Привести примеры компактов.
3. Что такое замкнутый параллелепипед в пространстве ? Привести примеры.
4. Какое множество называется ограниченным?
5. Критерий компактности множества.
6. Что можно сказать о наличии предельных точек у любого бесконечного ограниченного множества ?
7. Определения векторной последовательности. Понятие предела векторной последовательности. Геометрический смысл предела векторной последовательности.
8. Простейшие свойства пределов векторных последовательностей.
9. Теорема о покоординатной сходимости векторной последовательности.
10. Какая векторная последовательность называется фундаментальной?
11. Критерий сходимости векторной последовательности.
12. Понятие подпоследовательности векторной последовательности. Свойства подпоследовательностей.
- Компакти в просторі . Критерій компактності множини
- Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- Векторні послідовності. Поняття границі векторної послідовності
- Найпростіші властивості границь векторних послідовностей
- Фундаментальні послідовності. Підпослідовності
Нехай подана сукупність відкритих множин у просторі .
Визначення 1. Кажуть, що сукупність множин покриває множину , якщо .
Визначення 2. Множина називається компактною множиною, чи компактом, якщо з кожної нескінченної сукупності відкритих множин, яка покриває множину , можливо добути скінченну сукупність, яка теж покриває множину .
Приклад. Нехай . За лемою Бореля з кожної нескінченної системи інтервалів, яка покриває , можна добути скінченну підсистему, яка покриває , тому - компакт.
Визначення 3. Замкненим паралелепіпедом в просторі називається множина точок , які задовольняють умовам:
.
Зауваження. Можливо показати, що замкнений паралелепіпед є компактом.
Визначення 4. Множина називається обмеженою, якщо існує куля, яка містить цю множину.
Теорема 1. Для того, щоб множина була компактом, необхідно і достатньо, щоб вона була замкнена і обмежена.