Простейшие свойства пределов векторных последовательностей

Векторные последовательности. Понятие предела векторной последовательности

Пусть каждому ставится в соответствие некоторая точка (или вектор) . Тогда говорят, что в пространстве определена векторная последовательность .

Определение 5. Точка называется пределом векторной последовательности и обозначается: , если

для , что для выполняется: .

Геометрический смысл: Точка является пределом векторной последовательности , если любая окрестность точки в пространстве содержит бесконечно много элементов последовательности, а вне окрестности их может быть лишь конечное количество.

Пример. Пусть дана векторная последовательность , для которой . Доказать, что .

По определению 5 надо показать, что

, что для : .

.

Если , то :

.

Таким образом, неравенство выполняется для бесконечного количества элементов последовательности, номера которых , что и нужно было доказать.

Теорема 3. Если имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство. Самостоятельно.

Определение 6. Последовательность называется ограниченной, если существует такой шар , который содержит все элементы этой последовательности, т.е. для элементов последовательности выполняется неравенство .

Теорема 4. Пусть сходится, тогда - ограниченная последовательность.

Замечание. Не любая ограниченная последовательность является сходящейся.

Теорема 5 (о покоординатной сходимости). Для того, чтобы , ,сходилась к необходимо и достаточно, чтобы для каждого значения соответствующая числовая последовательность координат .

Доказательство. Необходимость. Пусть . По определению предела векторной последовательности это означает, что

для , что для выполняется: .

Возьмем произвольно конкретное значение . Пусть . Тогда

,

а это по определению предела числовой последовательности и означает, что .

Достаточность. Пусть для : .

,

,

...

.

Пусть . Тогда для и для все предыдущие неравенства выполняются одновременно, а тогда:

,

Т.е. ,

что говорит о том, что .

Теорема 6. Пусть , - векторные последовательности в пространстве , и , . Тогда последовательности , (тут - скалярное произведение ) также являются сходящимися и

, .