Условный экстремум

Рассмотренные выше ситуации поиска локальных и глобальных экстремумов представляли собой задачи нахождения безусловных экстремумов, или задачи безусловной оптимизации. Если на аргументы функции наложены некоторые дополнительные ограничениями в форме равенств, то задача оптимизации превращается в задачу на условный экстремум.

Такую задачу можно записать в общем виде следующим образом:

или,

где Х=(х₁, х₂, . . . х_n), а выражения g_i(X) = bⁱ называют уравнениями связи, m – число таких уравнений (запись означает, что система имеет вид ).

Если есть возможность выразить из ограничений задачи m переменных через (n-m) остальных, то тривиальным подходом к решению является подстановка этих переменных в целевую функцию и далее безусловная оптимизация полученной функции.

Если такой возможности нет, то для нахождения условного экстремума в математическом анализе используют метод множителей Лагранжа. Он состоит в том, что строится функция Лагранжа, имеющая следующий вид:

L(x₁, . . ., x_n, l₁, . . ., l_m) = f(x₁, . . ., x_n) + l_i (b_i - g_i(x₁, . . ., x_n)),

где l_i, - множители Лагранжа.

Можно доказать, что если задача на условный экстремум имеет решение в некоторой точке, то существуют такие значения множителей Лагранжа, что вместе с координатами этой точки они будут представлять собой точку экстремума функции Лагранжа. Поэтому для решения задачи достаточно провести исследование на экстремум функции Лагранжа.