Лекция 14

Решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами т.е. уравнение

(24)

Где p и g – некоторые числа согласно вышеприведенной теореме. Общее решение этого уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения у* неоднородного. Частное решение может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

Однако, для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения у* ,если правая часть уравнения имеет «специальный вид»:

I .или II.

Cуть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (24) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами , затем подставляют его в уравнение (24) и из полученного тождества находят значение коэффициентов.

Вариант 1. Правая часть имеет вид , где - многочлен степени n.

Уравнение (24) запишется в виде (25)

В этом случае частное решение y* ищется в виде . Здесь r – число кратности , как корня характеристического уравнения.

(т.е. r – число, показывающее, сколько раз является корнем уравнения ), а - многочлен степени n , записанный неопределенными коэффициентами

а) Пусть не является корнем характеристического уравнения т.е.

. Следовательно,

После подстановки функции y* и ее производных в уравнение (25) и сокращения на , получим : (26)

Слева многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа – многочлен степени n , но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему (n + 1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов .

б) Пусть является однократным (простым) корнем характеристического уравнения

,т.е. . В этом случае искать решение в форме

нельзя , т.к. , и уравнение (26)принимает вид

.

В левой части многочлен степени (n-1) , а в правой многочлен степени n .Чтобы получить тождество многочленов в решении у* нужно иметь многочлен тоже степени

(n-1), поэтому частное решение у* следует искать в виде (в частном решении (25) положить (r = 1)).

в) Пусть является двукратным корнем характеристического уравнения , т.е. . В этом случае , а поэтому уравнение (26) принимает вид . Слева стоит многочлен степени n-2. Понятно, что чтобы иметь слева многочлен степени n ,частное решение у* следует искать в виде

( т.е. в частном решении уравнения (25) надо положить r =2).

Вариант 2. Правая часть уравнения (24) имеет вид

, где - многочлены степени n и m соответственно, - действительные числа. Уравнение (24) запишется в виде (27)

Можно показать, что в этом случае частное решение у* последнего уравнения следует искать в виде

(28) , где

r – число , равное кратности , как корня характеристического уравнения , - многочлены степени с неопределенными коэффициентами, - наивысшая степень многочленов ,т.е.

= max (n, m).

Примечания:

1) При подстановке функции (28) в (27) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения .

2) Формула (28) сохраняется и в случаях, когда .

3) Если правая часть уравнения (24) есть сумма вида Iили IIто для нахождения у* следует использовать теорему о наложении решений.

Пример:

Найдем общее решение ЛОДУ , его характеристическое уравнение

имеет корень кратности 2. Значит . Находим частное решение исходного уравнения .В нем правая часть есть формула вида

, причем не является корнем характеристического уравнения . Поэтому , частное решение ищем как частное решение уравнения (25) в виде ,т.е. , где A и B – неопределенные коэффициенты .Тогда . Подставив в исходное уравнение получим , или . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему уравнений , отсюда А=1,В=-2.

Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид . Следовательно,

- искомое общее решение уравнения.

4.Решение ЛНДУ n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.

Рассмотрим линейное неоднородное ДУ n-го порядка

, где - заданные непрерывные функции на (a,b). Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид

Теорема: Общее решение ЛНДУ n-го порядка равно сумме частного решения у* неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения т.е. . Частное решение ЛНДУ n-го порядка может быть найдено, если известно общее решение однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных. Оно ищется в виде - частные решения, образующие фундаментальную систему однородного уравнения.

Система уравнений для нахождения неизвестных имеет вид

Однако, для ЛНДУ n – го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

Метод подбора частного решения у* уравнения , а правая часть f(x) имеет специальный вид описанный в п.3 для случая n =2, переносится без всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок .

Пример:

Найдем ,

Отсюда

Найдем у* , следовательно

. Тогда , откуда А= -1,В=0 и получим . Следовательно функция является общим решением уравнения.