Метод Лагранжа

Линейное уравнение решается следующим образом. Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т.е. уравнение . Оно называется линейным однородным Д.У. первого порядка. В этом уравнении можно провести разделение переменных. и .Таким образом, , т.е. или , где

Метод Лагранжа состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т.е. полагаем с=с(х). решение линейного уравнения при этом ищем в виде:

(7)

Найдем производную от этого соотношения. Подставляем значения у и у’ в линейное уравнение.

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются и окончательно получим. Следовательно. Интегрируя, получим: .

Подставляя выражение с(х) в (7) получим общее решение линейного Д.У. , что совпадает с результатом полученным методом Бернулли.

В заключении отметим, что зачастую метод Лагранжа называют методом вариации произвольной постоянной, что обусловлено тем, что при решении полагают с=с(х).

ЛЕКЦИЯ 12