Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом, отличным от 2π.

Пусть функция , определенная на отрезке имеет период 2e , где e – произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле. Сделав подстановку , данную функцию преобразуем в функцию , которая определена на отрезке и имеет период . Действительно, если , то , если , то и при имеем , т.е. . Разложение функции в ряд Фурье на отрезке имеет вид , где (), ().

Возвращаясь к переменной и заметив, что , , получим , где () , ().

Полученный ряд с коэффициентами, вычисляемые по выше записанным формулам, называется рядом Фурье для функции с периодом .

Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье 2π-периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период которых . В частности, если на отрезке четная, то ее ряд Фурье имеет вид , где , , Если - нечетная функция, то , где ,

Пример. Разложить функцию на интервале в ряд Фурье.

Данная функция нечетная, удовлетворяет условиям Дирихле. По полученным только что формулам при получаем , где , Вычислим : , Таким образом, , для .