Тригонометрический ряд Фурье

Основные понятия

VII Ряды Фурье

При изучении процессов, имеющих периодический характер, т.е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются, более целесообразно разлагать функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Напомним, что функция , определенная на множестве D, называется периодической с периодом T>0, если при каждом значение и выполняется равенство .

Для построения графика периодической функции периода T достаточно построить его на любом отрезке длины T и периодически продолжить его на всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции:

1) Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период T есть периодическая функция с периодом T.

2) Если функция имеет период T, то функция имеет период : действительно, .

3) Если функция имеет период T и интегрируема на отрезке , то при любых и b.

Доказательство: пусть , тогда , с другой стороны , но . Подставляя полученный результат, получим ч.т.д.

В частности, . Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и . Период этих функций равен 2π, т.е. . Простейшим периодическим процессом является простое гармоническое колебание, описываемое формулой

(1)

, где А – амплитуда колебаний, ω – частота, φ₀ – начальная фаза.

Функцию такого вида называют простой гармонической. Основным периодом этой функции является , т.е. одно полное колебание совершается за промежуток времени (а ω показывает, сколько колебаний совершает точка в течении 2π единиц времени).

Проведем преобразование этой функции , где

, (2)

. Отсюда видно, что простое периодическое колебание описывается функциями и .

Сложное гармоническое колебание, возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями типа и . Так, функция или, что равносильно, функция задает сложное гармоническое колебание. Так как период первой гармонии есть , второй , третьей и т.д., а период функции (нулевая гармония) есть любое чисел, то функция имеет период, равный 2π, т.е. .

Понятно, что при наложении простых гармоник получаем периодическую функцию, описывающую сложное периодическое колебание (периодический процесс). Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описывающую периодический процесс, можно представить в виде суммы простых гармоник вида (1) и (2). Если да, то как найти неизвестные параметры каждой из этих гармоник? Ответим сначала на второй, а затем на первый вопрос.

С помощью так называемого тригонометрического ряда любую (практически) периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида , где действительные числа a₀…a_n, b_n (n=1,2…) называются коэффициентами ряда. Этот ряд можно записать в виде . Действительно, положив , , получим ч.т.д., при этом и . Свободный член ряда записан в виде для единообразнополучающихся в дальнейшем формул.

Приведем соотношения, которые нам в дальнейшем пригодятся. Считая m и n целыми и положительными, найдем (1),

, при любом n. (2)

(3)

(4)

(5)

Формулы (1-5) показывают, что функции , , … , обладают свойством ортогональности – интеграл от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющий длину 2π, равен нулю. Кроме того, соотношения (1-5) справедливы и в случае, когда область интегрирования есть отрезок .

Пусть - произвольная периодическая функция с периодом 2π. Предположим, что функция разлагается в тригонометрический ряд, т.е. является суммой ряда (6)

Так как функция и сумма ряда имеют период 2π, то ее можно рассматривать в любом промежутке длины 2π. В качестве основного промежутка возьмем отрезок , также удобно взять отрезок и предположим, что наш ряд на этом отрезке можно почленно интегрировать. Вычислим коэффициенты и . Для этого проинтегрируем обе части ряда в пределах от –π до π. интегралы от всех, кроме нулевого, членов ряда равны 0 в силу формул (1) и (2). Отсюда . Умножив обе части нашего ряда (6) на и проинтегрировав полученный ряд в пределах от –π до π., получим . В силу соотношений (1) (3) и (4) из этого соотношения при получим , откуда , Аналогично, умножив соотношение (6) на и проинтегрировав почленно на отрезке , найдем , Числа , определяемые по приведенным выше формулам, называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд с такими коэффициентами рядом Фурье функции . Для интегрируемой на отрезке функции записывают ~и говорят, что функции соответствует ее ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, его сумму обозначают .

7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле

Выясним условия, при которых знак соответствия (~) можно заменить знаком равенства (=), т.е. условия, при которых ряд Фурье функции сходится и имеет своей суммой как раз функцию .

Будем рассматривать функции , имеющие период . Такие функции называются 2π-периодическими. Сформулируем теорему, представляющую достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Пусть 2π-периодическая функция на отрезке удовлетворяет двум условиям:

1) кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1 рода.

2) кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна. Тогда соответствующей функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией .

2. В каждой точке разрыва функции сумма ряда равна . Т.е. равна среднеарифметическому пределу функции справа и слева.

3. В точках и (на концах отрезка) сумма ряда равна .

Таким образом, если функция удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы Дирихле, то на отрезке имеет место разложение , причем коэффициенты вычисляются по полученным ранее формулам для (). Это равенство может нарушиться только в точках разрыва функции и на концах отрезка . В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье может быть получено указанное разложение во всей области определения функции. Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, которые встречаются в различных научных задачах. Однако существуют функции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом разложимые в ряд Фурье, т.е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложения функции в ряд, но не необходимое.